Másodikderivált-próba

1. Sablon:Humatek A második derivált próba egy másik módszer, amelyet a kalkulusban használnak a függvények lokális extrémumainak (maximumok és minimumok) meghatározására. Ez a teszt a második derivált értékén alapul, amely információt ad a függvény konvexitásáról.

Lépések a második derivált próbához:

1. Első derivált: Számítsd ki a függvény $f(x)$ első deriváltját $f^{\prime }(x)$.

2. Kritikus pontok: Határozd meg a kritikus pontokat úgy, hogy az első deriváltat nullára állítod: $$f^{\prime }(x)=0$$ vagy ahol $f^{\prime }(x)$ nem definiált.

3. Második derivált: Számítsd ki a függvény második deriváltját $f^{″}(x)$.

4. Vizsgálat a kritikus pontoknál: - Ha $f^{″}(c)>0$ a kritikus pont $c$ esetén, akkor $f(x)$ lokális minimumot tartalmaz $c$-ben. - Ha $f^{″}(c)<0$ a kritikus pont $c$ esetén, akkor $f(x)$ lokális maximumot tartalmaz $c$-ben. - Ha $f^{″}(c)=0$, akkor a teszt nem ad információt, és további vizsgálat szükséges (pl. az első derivált teszt).

Példa: Vegyük a következő függvényt: $f(x)=x^3-3x^2+4$.

1. Első derivált: $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$$

2. Kritikus pontok: $$3x^2-6x=0⟹3x(x-2)=0⟹x=0\text{ vagy }x=2$$

3. Második derivált: $$f^{″}(x)=6x-6$$

4. Vizsgálat a kritikus pontoknál: - $c=0$: $$f^{″}(0)=6(0)-6=-6<0\text{(lokális maximum)}$$ - $c=2$: $$f^{″}(2)=6(2)-6=6>0\text{(lokális minimum)}$$

Következtetés: - A $x=0$ pontban lokális maximum van. - A $x=2$ pontban lokális minimum van.

Ez a teszt egyszerű és hatékony módja a lokális extrémumok azonosításának. Ha további kérdéseid vagy példáid vannak, ne habozz kérdezni! Sablon:Hunl