Weierstrass-szélsőértéktétel

1. Sablon:Humatek A Weierstrass-szélsőértéktétel a matematikában az analízis egyik legfontosabb, alapvető tétele. Az egyváltozós valós függvények esetén a legtöbbször alkalmazott alakja az, hogy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek van abszolút maximuma és abszolút minimuma. A tétel tetszőleges korlátos és zárt, azaz kompakt halmazra is érvényes amennyiben Rⁿ-ben maradunk. Általában, Hausdorff-féle topologikus terekben (ahol a korlátos és zárt feltételegyüttes nem esik egybe a kompaktsági kitétellel) a tétel kompakt halmazokra érvényes.

A tétel

Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát. Tehát, ha $[a,b]$ korlátos és zárt és $f$ : $[a,b]$ $\to$R folytonos függvény, akkor létezik olyan $p$, $q$ ∈ $[a,b]$, hogy minden $x$ ∈ $[a,b]$-re $f$ $(p)$ ≤ $f$ $(x)$ ≤ $f$ $(q)$.

---

Weierstrass-szélsőértéktétel

A **Weierstrass-szélsőértéktétel** a valós analízis egyik alapvető eredménye, amely garantálja, hogy egy folytonos függvény eléri minimumát és maximumát egy zárt, korlátos intervallumon.

Tétel

Legyen $f:[a,b]\to ℝ$ egy valós-valós függvény, amely folytonos az $[a,b]$-n. Ekkor:

1. $f$ felveszi a legnagyobb értékét az $[a,b]$-n, azaz létezik olyan $x_M\in [a,b]$, amelyre:

$$f(x_M)=\sup \{f(x):x\in [a,b]\}.$$

1. $f$ felveszi a legkisebb értékét az $[a,b]$-n, azaz létezik olyan $x_m\in [a,b]$, amelyre:

$$f(x_m)=\inf \{f(x):x\in [a,b]\}.$$

---

Bizonyítás

1. Az $[a,b]$ tulajdonságai

Az $[a,b]$ intervallum:

• Zárt: minden sorozat, amelynek elemei az $[a,b]$-n belül vannak, konvergens, és határértéke is az $[a,b]$-hez tartozik.
• Korlátos: bármely $x\in [a,b]$ esetén $a\le x\le b$.

Az $[a,b]$-nek ezek a tulajdonságai biztosítják, hogy $f$ értékkészlete (az $f([a,b])$) zárt és korlátos részhalmaza a valós számoknak.

---

2. $f$ folytonosságának hatása

Mivel $f$ folytonos az $[a,b]$-n:

• Az $f([a,b])$ képhalmaz is zárt, azaz tartalmazza saját legnagyobb és legkisebb elemét. Ez a Bolzano–Weierstrass-tétel következménye.

---

3. Maximum létezése

A valós számok rendje szerint $f([a,b])$-nek van legnagyobb eleme, jelöljük ezt $M$-mel. Az $M$ értéket fel kell venni $f(x)$-nek valamilyen $x_M\in [a,b]$ helyen, mivel: $$\sup f([a,b])\in f([a,b]).$$

---

4. Minimum létezése

Hasonlóan, $f([a,b])$-nek van legkisebb eleme, jelöljük ezt $m$-mel. Az $m$ értéket is fel kell venni $f(x)$-nek valamilyen $x_m\in [a,b]$ helyen: $$\inf f([a,b])\in f([a,b]).$$

---

Következmények

1. A tétel nemcsak azt biztosítja, hogy $f$ szélsőértékei léteznek, hanem azt is, hogy ezek elérhetők az $[a,b]$-n belül.
2. A tétel nem állítja, hogy a szélsőérték egyedi. Például egy konstans függvény minden pontban felveszi maximumát és minimumát.

---

Példa

Legyen $f(x)=x^2$ az $[-1,2]$ intervallumon. Ekkor:

1. $f(x)$ minimuma: $x_m=0$, ahol $f(0)=0$.
2. $f(x)$ maximuma: $x_M=2$, ahol $f(2)=4$.

A függvény folytonos, így a tétel alkalmazható.

---

Összefoglalás

A **Weierstrass-szélsőértéktétel** garantálja, hogy minden folytonos függvény eléri a minimumát és maximumát egy zárt és korlátos intervallumon. Ez az analízis egyik alapvető tétele, amely biztosítja a folytonos függvények kiszámíthatóságát zárt tartományokon.