Σ-algebra

1. Sablon:Label A σ-algebra (szigma-algebra) vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.

Formális definíció

Axiómák

Legyen $\mathrm{\Omega }$ tetszőleges halmaz, $𝒫(\mathrm{\Omega })$ az $\mathrm{\Omega }$ részhalmazaiból álló hatványhalmaz, és legyen $𝒜\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ az $\mathrm{\Omega }$ részhalmazainak egy halmaza.

Az $𝒜$ halmazt az $\mathrm{\Omega }$ halmaz feletti σ-algebrának nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:

1. $𝒜$ nem üres, azaz $𝒜\ne \mathrm{\varnothing }$.

2. $𝒜$ tartalmazza bármely eleme ($\mathrm{\Omega }$-ra vonatkozó) komplementerét, vagyis zárt a komplementerképzés műveletére, azaz $A\in 𝒜\Rightarrow \bar{A}\in 𝒜$.

3. $𝒜$ tartalmazza bármely legfeljebb megszámlálható halmazcsaládja unióját, vagyis zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz $A_i\in 𝒜(i\in \mathbb{N})\Rightarrow \bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in 𝒜$.

A 3. axiómából ered a fogalom elnevezése, mivel az $\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$-t régies jelöléssel $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$-nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok görög nagy szigma betűvel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden σ-zártságnak szokás nevezni. Sablon:Hunl