Összetett esemény

1. Sablon:Label Az összetett esemény a valószínűségszámításban olyan esemény, amely több egyszerű esemény kombinációjából áll. Az összetett események jellemzően logikai kapcsolatok révén kapcsolódnak egymáshoz, például unióval (vagy) és metszettel (és) való összekapcsolás révén.

Fajtái

1. Unió (A ∪ B): Az A vagy B esemény bekövetkezése. Az unió akkor következik be, ha legalább az egyik esemény bekövetkezik. - Példa: Ha A az „esik az eső” esemény és B a „fúj a szél” esemény, akkor az A ∪ B esemény az, hogy vagy esik az eső, vagy fúj a szél, vagy mindkettő.

2. Metszet (A ∩ B): Az A és B események együttes bekövetkezése. A metszet csak akkor következik be, ha mindkét esemény egyszerre teljesül. - Példa: Az A ∩ B esemény az, hogy egyszerre esik az eső és fúj a szél.

3. Különbség (A \ B): Az A esemény bekövetkezése, de a B esemény elmaradása. Ez azt jelenti, hogy az A esemény megtörténik, míg B nem történik meg. - Példa: Az A B esemény az, hogy esik az eső, de nem fúj a szél.

4. Komplementer esemény (A’): Az A esemény elmaradása. Ez azt jelenti, hogy az A esemény nem következik be. - Példa: Az A’ esemény az, hogy nem esik az eső.

Valószínűségszámítás

Az összetett események valószínűségei az egyszerű események valószínűségének figyelembevételével számíthatók ki:

- Unió: Az A és B események uniójának valószínűsége:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

- Metszet: Az A és B események metszetének valószínűsége:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$

ahol $P(B|A)$ az A esemény bekövetkezése esetén a B esemény valószínűsége (feltételes valószínűség).

Példa

Tegyük fel, hogy egy kockával dobunk, és A az az esemény, hogy a dobott szám páratlan, míg B az az esemény, hogy a dobott szám nagyobb, mint 3.

- Az A esemény lehetséges kimenetei: {1, 3, 5} (valószínűsége: $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$) - A B esemény lehetséges kimenetei: {4, 5, 6} (valószínűsége: $P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$)

- A metszet (A ∩ B) lehetséges kimenetei: {5} (valószínűsége: $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$)

- Az unió (A ∪ B) valószínűsége:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$

Összefoglalás

Az összetett események segítenek a valószínűségi modellekben a komplex helyzetek kezelésében. Sablon:Hunl