Összeg várható értéke

1. Sablon:Label Az összeg várható értéke a valószínűségszámításban annak a várható értéknek a kiszámítását jelenti, amely több véletlen változó összegére vonatkozik. Az egyik legfontosabb tulajdonság, hogy az összeg várható értéke egyenlő az egyes változók várható értékeinek összegével, függetlenül attól, hogy a változók függetlenek vagy nem.

Formális megfogalmazás:

Legyenek $X_1,X_2,\dots ,X_n$ véletlen változók, amelyek várható értéke $E[X_1],E[X_2],\dots ,E[X_n]$. Az összeg $S=X_1+X_2+\dots +X_n$ várható értéke a következőképpen számítható:

$$E[S]=E[X_1+X_2+\dots +X_n]=E[X_1]+E[X_2]+\dots +E[X_n]$$

Fontos tulajdonságok:

- Lineáris tulajdonság: A várható érték lineáris operátor, ami azt jelenti, hogy ha egy véletlen változók összegére vesszük a várható értéket, az egyenlő a különálló véletlen változók várható értékeinek összegével.

- Függetlenség nem szükséges: A véletlen változók összegének várható értékére vonatkozó szabály akkor is érvényes, ha a változók nem függetlenek. A függetlenség csak a szórás és a variancia összegzésénél lesz fontos.

Példák:

1. Két dobókocka összegének várható értéke:

Tegyük fel, hogy két szabályos dobókockát dobunk, és az eredményeket összeadjuk. A két véletlen változó $X_1$ és $X_2$ a két kocka eredményét jelenti, és mindkettő várható értéke egy szabályos kocka esetén:

$$E[X_1]=E[X_2]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$$

A dobások összegének várható értéke:

$$E[X_1+X_2]=E[X_1]+E[X_2]=3.5+3.5=7$$

Tehát a két dobókocka összegének várható értéke 7.

2. Pénzfeldobások várható értéke:

Tegyük fel, hogy egy érmét háromszor feldobunk, és $X_i$ azt jelöli, hogy az $i$-edik dobás eredménye fej (1) vagy írás (0). Az egyes dobások várható értéke:

$$E[X_i]=0.5,i=1,2,3$$

Az összes dobás során kapott fejek számának várható értéke:

$$E[X_1+X_2+X_3]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]=0.5+0.5+0.5=1.5$$

Tehát a három dobás során várhatóan 1.5 fejet kapunk.

Általánosítás:

Az összeg várható értéke bármilyen súlyozott összeg esetén is kiszámítható a következőképpen:

Ha $X_1,X_2,\dots ,X_n$ véletlen változók, és $a_1,a_2,\dots ,a_n$ valós számok (súlyok), akkor az összeg $S=a_1{X}_1+a_2{X}_2+\dots +a_n{X}_n$ várható értéke:

$$E[S]=E[a_1{X}_1+a_2{X}_2+\dots +a_n{X}_n]=a_{1}E[X_1]+a_{2}E[X_2]+\dots +a_{n}E[X_n]$$

Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy bonyolultabb helyzetekben is könnyedén kiszámítsuk a várható értéket.

Összegzés:

Az összeg várható értéke a véletlen változók várható értékeinek összege, és független attól, hogy a változók függetlenek-e vagy sem. Ez a tulajdonság alapvető fontosságú a statisztikában és valószínűségszámításban, mivel egyszerűsíti a számításokat és segít a sztochasztikus folyamatok modellezésében. Sablon:Hunl