Általános szorzási szabály

1. Sablon:Label Az általános szorzási szabály a valószínűségszámításban egy fontos szabály, amely két vagy több esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét adja meg. Ez a szabály lehetővé teszi, hogy az események közötti kapcsolat (függetlenség vagy függőség) figyelembevételével meghatározzuk az események együttes valószínűségét.

Általános szorzási szabály: Két esemény, $A$ és $B$, együttes bekövetkezésének valószínűsége a következőképpen számítható:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$

Ahol: - $P(A\cap B)$ az $A$ és $B$ események együttes bekövetkezésének valószínűsége, - $P(A)$ az $A$ esemény valószínűsége, - $P(B|A)$ annak a feltételes valószínűsége, hogy $B$ bekövetkezik, feltéve, hogy $A$ már bekövetkezett.

Magyarázat: Az általános szorzási szabály arra alapul, hogy az egyik esemény (pl. $A$) már bekövetkezett, és meg akarjuk tudni, milyen valószínűséggel következik be a másik esemény ($B$) is. Az $A$ esemény valószínűségének szorzata a $B$-re vonatkozó feltételes valószínűséggel adja meg az $A$ és $B$ együttes bekövetkezésének valószínűségét.

Ha több eseményről van szó: Több esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét az általános szorzási szabály ismételt alkalmazásával lehet meghatározni:

$$P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B)$$

Ez a szabály bármilyen számú eseményre alkalmazható.

Független események esetén: Ha az események függetlenek, azaz az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik esemény bekövetkezésének valószínűségét, akkor a feltételes valószínűség egyszerűsödik:

$$P(B|A)=P(B)$$

Ezáltal az általános szorzási szabály a következő egyszerűbb formát ölti független események esetén:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

Példák:

1. Két pénzérme dobás: Tegyük fel, hogy két pénzérmét dobunk, és az $A$ esemény az, hogy az első érme fej lesz, a $B$ esemény pedig az, hogy a második érme is fej lesz. A két esemény független, mert az egyik érme kimenetele nem befolyásolja a másik érme kimenetelét.

A valószínűségek: - $P(A)=0.5$ (az első érme fejet mutat), - $P(B)=0.5$ (a második érme fejet mutat).

A két esemény együttes valószínűsége (mindkettő fej lesz):

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0.5\cdot 0.5=0.25$$

2. Kártyahúzás: Tegyük fel, hogy egy 52 lapos pakliból két kártyát húzunk egymás után visszatevés nélkül. $A$ esemény az, hogy az első kártya pikk ász, $B$ esemény pedig az, hogy a második kártya is pikk ász.

Az első kártya húzása után a második húzás valószínűsége már függ az első kártyától, tehát az események nem függetlenek.

- $P(A)=\frac{1}{52}$ (elsőre pikk ászt húzunk), - $P(B|A)=\frac{0}{51}=0$ (nem lehet kétszer ugyanazt a pikk ászt húzni).

Az események együttes valószínűsége tehát:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=\frac{1}{52}\cdot 0=0$$

Ez azt jelenti, hogy lehetetlen két pikk ászt húzni visszatevés nélkül.

Összefoglalás: Az általános szorzási szabály lehetővé teszi két vagy több esemény együttes bekövetkezésének valószínűségének kiszámítását, különösen akkor, ha az események nem függetlenek. A feltételes valószínűségek használatával pontosabb képet kaphatunk az események kapcsolatáról és valószínűségéről. Sablon:Hunl