Valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

1. Sablon:Label A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye (vagy eloszlásfüggvény) egy kulcsfontosságú fogalom a valószínűségelméletben, amely leírja, hogy a véletlen változó milyen valószínűségekkel veszi fel a különböző értékeket. Két fő típusa van: a diszkrét és a folytonos eloszlásfüggvény.

Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

A diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye $X$ esetén a következőképpen definiálható:

1. Valószínűségi tömegfüggvény (PMF): Ha $X$ egy diszkrét valószínűségi változó, akkor az eloszlásfüggvénye a következőképpen definiálható: $$P(X=x)=f_X(x)$$ ahol $f_X(x)$ a valószínűségi tömegfüggvény, amely megadja, hogy a $X$ változó milyen valószínűséggel veszi fel az $x$ értéket.

2. Eloszlásfüggvény: Az eloszlásfüggvény $F_X(x)$ a diszkrét változó esetén a következőképpen van definiálva: $$F_X(x)=P(X\le x)=\sum _{x_i\le x}P(X=x_i)$$ Ez megadja a valószínűséget, hogy a $X$ változó kisebb vagy egyenlő $x$ értékkel bír.

Folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

A folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye $X$ esetén a következőképpen definiálható:

1. Valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF): Ha $X$ egy folytonos valószínűségi változó, akkor az eloszlásfüggvénye a következőképpen van definiálva: $$f_X(x)=\frac{d}{dx}{F}_X(x)$$ ahol $f_X(x)$ a valószínűségi sűrűségfüggvény.

2. Eloszlásfüggvény: Az eloszlásfüggvény $F_X(x)$ folytonos változó esetén a következőképpen van definiálva: $$F_X(x)=P(X\le x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{f}_X(t)dt$$ Ez megadja a valószínűséget, hogy a $X$ változó kisebb vagy egyenlő $x$ értékkel bír.

Jellemzők:

- Monotonikus növekedés: Az eloszlásfüggvény monoton növekvő, mivel a valószínűségek sosem csökkennek. - Határok: A valószínűségi eloszlásfüggvény értékei 0 és 1 között mozognak: $F_X(-\mathrm{\infty })=0$ és $F_X(+\mathrm{\infty })=1$. - Diszkrét vs. Folytonos: A diszkrét eloszlásfüggvény lépcsős, míg a folytonos eloszlásfüggvény folyamatos és sima.

Összegzés: A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye kulcsszerepet játszik a valószínűségszámításban és a statisztikában, mivel lehetővé teszi a valószínűségi modellek és következtetések meghatározását. Segít megérteni a véletlen jelenségek viselkedését és eloszlását. Sablon:Hunl