Valószínűséggeneráló függvény

1. Sablon:Label A valószínűséggeneráló függvény a valószínűségszámításban a diszkrét valószínűségi változók eloszlásait jellemző függvény. Minden természetes számokat értékként felvevő eloszláshoz hozzárendelhető valószínűséggeneráló függvény, és minden valószínűséggeneráló függvényhez egyértelműen tartozik természetes számokat értékül adó eloszlás.

A hozzárendelés alapján a valószínűséggeneráló függvény segítségével lehet következtetni a valószínűségi változó tulajdonságaira. A valószínűségi változókon végzett műveleteknek megfelelnek a valószínűséggeneráló függvényeken végzett műveletek. Így kapcsolatban állnak a valószínűséggeneráló függvény deriváltjai és az eloszlás várható értéke, szórásnégyzete és további momentumai. A független változók összeadása az eloszlások konvolúciójának és a valószínűséggeneráló függvények szorzásának. A fontos műveletek egyszerűsítése lehetővé teszi olyan bonyolult sztochasztikus objektumok vizsgálatát, mint a Galton-Watson-folyamat.

Definíció

A valószínűséggeneráló függvény kétféleképpen is definiálható, ezek azonban ekvivalensek. Az egyik a valószínűségeloszláson, a másik a valószínűségi változón alapul. Mindkét definícióban teljesül a $0^0:=1$ összefüggés. A továbbiakban ${\mathbb{N}}_0$ jelöli a természetes számokat, beleértve a nullát, avagy a nemnegatív egész számokat.

Valószínűségeloszlásokra

Legyen $P$ valószínűségeloszlás az $({\mathbb{N}}_0,𝒫({\mathbb{N}}_0))$ halmazon, és valószínűségi függvénye $f_P(k)=P(\{k\})$! Ekkor az $m_P:[0,1]\to [0,1]$ függvény, aminek definíciója

$m_P(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_P(k)t^k$

$P$, illetve $f_P$ valószínűséggeneráló függvénye.

Valószínűségi változókra

Ha az $X$ valószínűségi változó értékei ${\mathbb{N}}_0$-ból valók, akkor a valószínűséggeneráló függvény egy $m_X:[0,1]\to [0,1]$ függvény, aminek definíciója

$m_X(t):=m_{P\circ X^{-1}}(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^{k}P[X=k]$.

Ez $X$, illetve $P_X$ valószínűséggeneráló függvénye.

Ezzel egy valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye megegyezik eloszlásának valószínűséggeneráló függvényével. Alternatívan, a várható érték segítségével is definiálható:

$m_X(t):=\mathrm{E}\left[t^X\right]$.