Többváltozós normális eloszlás

1. Sablon:Humatek A többváltozós normális eloszlás a normális eloszlás általánosítása több dimenzióban. Ez egy vektorral rendelkező véletlen változóra vonatkozik, amelyet a várható értékvektor és a kovariancia mátrix határoz meg.

Definíció

Egy $𝐗=(X_1,X_2,\dots ,X_k{)}^T$ véletlen vektor multivariált normális eloszlást követ, ha bármely lineáris kombinációja normális eloszlású. A multivariált normális eloszlás jelölése:

$$𝐗\sim 𝒩(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$$

ahol:

• $\mathit{\mu }=({\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_k{)}^T$ a várható értékvektor.

• $\mathrm{\Sigma }$ a $k\times k$ kovariancia mátrix, amely szimmetrikus és pozitív féldefinált.

Valószínűségi Sűrűségfüggvény

A multivariált normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye (PDF) a következőképpen adható meg:

$$f(𝐱)=\frac{1}{(2\pi {)}^{k/2}|\mathrm{\Sigma }{|}^{1/2}}\exp (-\frac{1}{2}(𝐱-\mathit{\mu }{)}^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(𝐱-\mathit{\mu }))$$

ahol $𝐱\in {ℝ}^k$, és $|\mathrm{\Sigma }|$ a kovariancia mátrix determinánsa.

Tulajdonságok

1. Marginalis eloszlások: A multivariált normális vektor bármely részhalmazának komponensei is normálisan eloszlottak.

2. Feltételes eloszlások: A véletlen változók egy részhalmazának feltételes eloszlása a többi komponens alapján is multivariált normális.

3. Függetlenség: Két komponens $X_i$ és $X_j$ független, ha és csak ha a megfelelő kovariancia $\text{Cov}(X_i,X_j)=0$.

Alkalmazások

A multivariált normális eloszlások széles körben használatosak a statisztikában, pénzügyekben, gépi tanulásban és sok más területen, ahol többváltozós adatokat elemeznek. Különösen hasznosak a korrelált véletlen változók közötti kapcsolatok modellezésében.