Teljes valószínűség tétele

1. Sablon:Label A teljes valószínűség tétele (Total Probability Theorem) egy fontos fogalom a valószínűségszámításban, amely arra szolgál, hogy egy esemény valószínűségét különböző feltételek alapján számítsuk ki. Különösen akkor hasznos, ha egy adott esemény valószínűsége egy másik eseményekre bontott halmazban van kifejezve.

Legyen $\{B_1,B_2,\dots ,B_n\}$ egy teljes eseményrendszer, vagyis a $B_i$-k kölcsönösen kizáróak és lefedik az összes lehetséges kimenetelt (azaz ${\bigcup }_{i=1}^n{B}_i=\mathrm{\Omega }$). Ekkor egy $A$ esemény valószínűsége:

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A\mid B_i)P(B_i)$$

Ez azt jelenti, hogy $A$ valószínűségét úgy számíthatjuk ki, hogy vesszük az $A$ valószínűségét minden egyes $B_i$-re feltételesen, és megszorozzuk a megfelelő $B_i$ valószínűségével, majd összegezzük ezeket.

Példa: Tegyük fel, hogy van három doboz: - Az első dobozban 2 piros és 3 kék golyó van. - A második dobozban 1 piros és 1 kék golyó van. - A harmadik dobozban 4 piros és 2 kék golyó van.

Egy dobozt véletlenszerűen választunk ki, és egy golyót húzunk belőle. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott golyó piros?

Az eseményrendszerünk: - $B_1$: az első doboz kiválasztása, - $B_2$: a második doboz kiválasztása, - $B_3$: a harmadik doboz kiválasztása.

A teljes valószínűség tétele szerint:

$$P(\text{piros})=P(\text{piros}\mid B_1)P(B_1)+P(\text{piros}\mid B_2)P(B_2)+P(\text{piros}\mid B_3)P(B_3)$$

Most behelyettesítve az értékeket:

$$P(\text{piros})=(\frac{2}{5}\times \frac{1}{3})+(\frac{1}{2}\times \frac{1}{3})+(\frac{4}{6}\times \frac{1}{3})$$

Ez megadja a piros golyó kihúzásának teljes valószínűségét.

• Sablon:En: Sablon:T+