Tapasztalati szórás

1. Sablon:Label A tapasztalati (empirikus) szórás a minta adataiból számított szórás, amely a minta adatainak átlagtól való átlagos eltérését méri. Az empirikus szórás a minta szóródásának mérőszáma, és a populáció szórásának becslésére használjuk. Fontos szerepe van a statisztikai adatelemzésben, mivel megmutatja, hogy a minta mennyire szóródik az átlag körül.

Tapasztalati Szórás Képlete

Az empirikus szórás ($s$) képlete a következő:

$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}$$

ahol: - $n$ a minta elemszáma, - $x_i$ a minta $i$-edik eleme, - $\overline{x}$ a mintaátlag, amelyet az alábbi képlet ad meg:

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Magyarázat

- A $\overline{x}$ a minta középértékét, vagyis a minta átlagát jelenti. - Az $(x_i-\overline{x}{)}^2$ kifejezés minden adatpont és a mintaátlag közötti eltérés négyzetét adja meg. - Az eltérések négyzeteinek összege (${\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$) a teljes eltérés mértékét mutatja. - Az $\frac{1}{n-1}$ korrekciós tényező, amelyet Bessel-korrekciónak nevezünk, biztosítja, hogy a becslés torzítatlan legyen. A $n-1$ használata javítja a szórás becslésének pontosságát, különösen kisebb minták esetén.

Példa

Tegyük fel, hogy egy minta az alábbi adatokból áll: $4,8,6,10,12$.

1. Mintaátlag kiszámítása: $$\overline{x}=\frac{4+8+6+10+12}{5}=8$$

2. Eltérések négyzeteinek összege: $$(4-8{)}^2+(8-8{)}^2+(6-8{)}^2+(10-8{)}^2+(12-8{)}^2=16+0+4+4+16=40$$

3. Tapasztalati szórás kiszámítása: $$s=\sqrt{\frac{40}{5-1}}=\sqrt{10}\approx 3,16$$

Tehát az empirikus szórás körülbelül 3,16, ami azt mutatja, hogy a mintaadatok átlagosan ennyire térnek el a mintaátlagtól.

Jelentőség

A tapasztalati szórás egy fontos statisztikai mutató, amely a minta adatai közötti változékonyságot méri. Nagyobb szórás esetén az adatok szétszórtabbak, míg kisebb szórás esetén az adatok közelebb helyezkednek el a mintaátlaghoz. Az empirikus szórás gyakran alkalmazott mérőszám a különböző statisztikai elemzésekben, például a regressziós analízisben és a hipotézisvizsgálatban. Sablon:Hunl