Tapasztalati eloszlásfüggvény

1. Sablon:Label A tapasztalati eloszlásfüggvény (EDF) egy lépcsős függvény, amely egy valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvényének (CDF) becslését adja egy adott mintára alapozva. Segítségével megjeleníthetjük és elemezhetjük a megfigyelt adatok eloszlását.

Egy minta $X_1,X_2,\dots ,X_n$ esetén a tapasztalati eloszlásfüggvényt, amelyet $F_n(x)$-el jelölünk, az alábbi módon definiáljuk:

$$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}I(X_i\le x)$$

ahol $I(X_i\le x)$ egy indikátorfüggvény, amely 1-et vesz fel, ha $X_i\le x$, és 0-t, ha nem.

A tapasztalati eloszlásfüggvény tulajdonságai

- **Lépcsős függvény**: $F_n(x)$ lépcsőkben növekszik a megfigyelt adatoknál, és minden lépcső mérete $\frac{1}{n}$.

- **Értékkészlet**: $F_n(x)$ értékei 0 és 1 között vannak; $F_n(x)=0$, ha $x$ kisebb, mint a legkisebb megfigyelés, és $F_n(x)=1$, ha $x$ nagyobb, mint a legnagyobb megfigyelés.

- **Közelítés**: Ahogy a mintanagyság $n$ növekszik, a tapasztalati eloszlásfüggvény egyre jobban megközelíti a populáció valódi kumulatív eloszlásfüggvényét.

A tapasztalati eloszlásfüggvényt gyakran használják adatok megjelenítésére, elméleti eloszlásokkal való összehasonlításra és illeszkedésvizsgálatok, például a Kolmogorov-Smirnov próba elvégzésére. Sablon:Hunl