Szabályos feltételes eloszlás

1. Sablon:Humatek Egy valószínűségi változó szabályos feltételes eloszlása a valószínűségszámításban a valószínűségi változó eloszlását általánosítja. Tekintetbe veszi azt az információt, amit a lehetséges kimenetelekről tudunk. A Bayes-statisztika és a sztochasztikus folyamatok elméletében fontos. Szemben a közönséges feltételes eloszlással a szabályos feltételes eloszlást a feltételes várható értékkel definiálják, ezzel annál lényegesen általánosabb.

Definíció

Adva legyen egy $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ valószínűségi mező, egy $(E,ℰ)$ mértéktér és $𝒜$ egy $ℱ$ rész-σ-algebrája. Továbbá legyen $Y$ egy valószínűségi változó $(\mathrm{\Omega },𝒜)$-ban $(E,ℰ)$ szerint.

Ekkor $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ egy $(E,ℰ)$ szerinti ${\kappa }_{Y,ℱ}$ Markov-magja az $Y$ valószínűségi változó $ℱ$-re vett feltételes eloszlásának szabályos verziója, ha

${\kappa }_{Y,ℱ}(\omega ,B)=P(Y^{-1}(B)|ℱ)(\omega )$

minden $B\in ℰ$ esetén $P$-majdnem mindenütt $\omega$-ban.

Itt $P(A|ℱ)(\omega ):=\mathrm{E}({\mathrm{𝟏}}_A|ℱ)(\omega )$ a feltételes valószínűség, amit feltételes várható értékkel definiálnak.

A ${\kappa }_{Y,ℱ}:\mathrm{\Omega }\times ℰ\to [0,1]$ függvény definíciójában szereplő feltételek a következőket is jelentik:

• Minden $\omega \in \mathrm{\Omega }$ esetén ${\kappa }_{Y,ℱ}(\omega ,\cdot )$ valószínűségi mérték $(E,ℰ)$-n.
• Minden $B\in ℰ$ $𝒜$-mérhető függvény ${\kappa }_{Y,ℱ}(\cdot ,B)$-n.
• Minden $B\in ℰ$ és minden $F\in ℱ$

esetén $\underset{F}{\int }{\kappa }_{Y,ℱ}(\cdot ,B)dP=P(Y^{-1}(B)\cap F)$.