Standardizált változók kovarianciája

1. Sablon:Label A standardizált változók kovarianciája a statisztikában egy fontos fogalom, amely segít megérteni, hogy a változók hogyan függenek egymástól. A standardizálás során a változókat úgy módosítjuk, hogy azok átlaguk 0-ra, szórásuk pedig 1-re legyen állítva.

Standardizált Változók

Legyen $X$ egy valószínűségi változó, amelynek várható értéke és szórása a következőképpen van definiálva:

- Várható érték: $E(X)=\mu$ - Szórás: ${\sigma }_X$

A standardizált változót, $Z$, a következőképpen definiáljuk:

$$Z=\frac{X-\mu }{{\sigma }_X}$$

Kovariancia Képlet

A két standardizált változó, $Z_X$ és $Z_Y$ kovarianciája a következő képlettel számítható:

$$\text{Cov}(Z_X,Z_Y)=E[(Z_X-E(Z_X))(Z_Y-E(Z_Y))]$$

Mivel $Z_X$ és $Z_Y$ standardizált változók, várható értékük 0:

$$\text{Cov}(Z_X,Z_Y)=E[Z_X{Z}_Y]$$

Kovariancia és Korreláció

A kovariancia értéke, amely a standardizált változók esetében a következőképpen alakul:

$$\text{Cov}(Z_X,Z_Y)=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$$

Ezért a standardizált változók kovarianciája megegyezik a két eredeti változó korrelációjával ($\rho$):

$$\text{Cov}(Z_X,Z_Y)={\rho }_{X,Y}$$

Összegzés

A standardizált változók kovarianciája a két eredeti változó korrelációját adja meg, ami azt jelenti, hogy a standardizálás segít az eredeti adatok eloszlásának és viselkedésének egy könnyebben értelmezhető formáját létrehozni. A standardizálás révén a változók összehasonlíthatóbbá válnak, és lehetővé teszik a közvetlen korrelációs vizsgálatokat. Sablon:Hunl