Poincaré-tétel

1. Sablon:Label

Poincaré-tétel (háromdimenziós gömb)

A **Poincaré-tétel** a topológia egyik alapvető eredménye, amely a háromdimenziós gömb (3-gömb) szerkezetét írja le. A tétel igazolja a Poincaré-sejtést, amely kimondja, hogy minden egyszeresen összefüggő, zárt háromdimenziós sokaság homeomorf a 3-gömbbel.

A tétel megfogalmazása

Legyen $M$ egy háromdimenziós, zárt (kompakt és határ nélküli) differenciálható sokaság. Ha $M$ egyszeresen összefüggő, azaz:

• ${\pi }_1(M)=\{e\}$, ahol ${\pi }_1$ az alapcsoport, és csak az egységelem van benne (triviális fundamental csoport),
• akkor $M$ homeomorf a háromdimenziós gömbbel ($S^3$).

Magyarázat

A tétel a következő fogalmakra épül:

• **Zárt sokaság:** Olyan differenciálható sokaság, amely kompakt és határ nélküli.
• **Egyszeres összefüggőség:** Egy sokaság akkor egyszeresen összefüggő, ha minden zárt görbe (hurok) folyamatosan összehúzható egy pontba.
• **3-gömb:** A háromdimenziós gömb ($S^3$) az a tér, amely az ${ℝ}^4$-ben definiálható az egységgömb által: $\{(x,y,z,w)\in {ℝ}^4\mid x^2+y^2+z^2+w^2=1\}$.

A Poincaré-tétel kimondja, hogy ha egy zárt, háromdimenziós sokaság topológiailag "egyszerű" (egyszeresen összefüggő), akkor az pontosan a háromdimenziós gömb.

A tétel története

A tételt először Henri Poincaré sejtette meg 1904-ben, de bizonyítása évtizedekig nyitott probléma maradt:

• 1982: A négydimenziós analógot Michael Freedman bizonyította.
• 2000-es évek: Grigorij Perelman bizonyította a háromdimenziós esetet a Ricci-áramlás módszerével, amely Richard Hamilton munkájára épült.

Perelman bizonyítása 2003-ra vált teljessé, amelyért több díjat ajánlottak neki, köztük a Fields-érmet és a Millennium-díjat, de ő ezeket visszautasította.

Példa

A háromdimenziós gömb példája:

• A háromdimenziós gömbön bármely zárt görbe összehúzható egy pontba.
• Ezzel szemben a háromdimenziós tórusz nem egyszeresen összefüggő, mivel rajta zárt görbék léteznek, amelyeket nem lehet összehúzni egy pontba.

Következmények

A Poincaré-tétel fontos következményekkel bír:

• A háromdimenziós sokaságok osztályozásában alapvető szerepet játszik.
• A Ricci-áramlás elméletének fejlődését segítette, amely széles körben alkalmazható geometriai és fizikai problémákban.
• Az algebrai topológia egyik mérföldköve, amely a topológiai invariánsok (pl. fundamental csoport) jelentőségét hangsúlyozza.

További megjegyzések

• A Poincaré-tétel a négydimenziós esetben szintén igazolt (Freedman, 1982).
• Kétdimenzióban az ekvivalens állítás triviális, mivel minden egyszeresen összefüggő zárt felület homeomorf a 2-gömbbel.
• A tétel általánosítása más dimenziókra mély matematikai problémákat érint, és az algebrai topológia egyik alapvető kérdése.