Pearson-féle korrelációs együttható

1. Sablon:Label

Definíció

A Pearson-féle korrelációs együttható ($r$) a két változó közötti lineáris kapcsolat szorosságát méri. Az értéke mindig $-1\le r\le 1$ közé esik.

• $r=1$: Tökéletes pozitív lineáris kapcsolat.
• $r=-1$: Tökéletes negatív lineáris kapcsolat.
• $r=0$: Nincs lineáris kapcsolat a változók között.

Képlet

$r=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y}$

Ahol:

• $\text{Cov}(X,Y)$: $X$ és $Y$ kovarianciája.
• ${\sigma }_X$: $X$ szórása (standard deviációja).
• ${\sigma }_Y$: $Y$ szórása.

Lépések a számításhoz

1. **Számítsd ki a kovarianciát**:

  $\text{Cov}(X,Y)=M(X\cdot Y)-M(X)\cdot M(Y)$

2. **Számítsd ki a szórásokat**:

1. • ${\sigma }_X=\sqrt{\text{Var}(X)}$
   • ${\sigma }_Y=\sqrt{\text{Var}(Y)}$
   • A variancia: $\text{Var}(X)=M(X^2)-[M(X){]}^2$.

3. **Helyettesítsd be a képletbe**:

  $r=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}}$

---

Interpretáció

Korreláció nagysága

• $|r|=1$: Tökéletes lineáris kapcsolat.
• $0.7\le |r|<1$: Erős lineáris kapcsolat.
• $0.4\le |r|<0.7$: Közepesen erős lineáris kapcsolat.
• $0.2\le |r|<0.4$: Gyenge lineáris kapcsolat.
• $|r|<0.2$: Gyakorlatilag nincs lineáris kapcsolat.

Előjel

• $r>0$: Pozitív kapcsolat (ahogy $X$ nő, $Y$ is nő).
• $r<0$: Negatív kapcsolat (ahogy $X$ nő, $Y$ csökken).

---

Példa

Adatok

Tegyük fel, hogy van egy $X$ és $Y$ változó:

Adatok

$X$	$Y$
1	2
2	4
3	6
4	8
5	10

1. Átlagok:
   • $M(X)=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$.
   • $M(Y)=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6$.
2. Kovariancia:
   • $M(X\cdot Y)=\frac{1\cdot 2+2\cdot 4+3\cdot 6+4\cdot 8+5\cdot 10}{5}=44$.
   • $\text{Cov}(X,Y)=M(X\cdot Y)-M(X)\cdot M(Y)=44-3\cdot 6=26$.
3. Szórások:
   • $\text{Var}(X)=M(X^2)-[M(X){]}^2=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2}{5}-3^2=2$.
   • ${\sigma }_X=\sqrt{2}\approx 1.414$.
   • $\text{Var}(Y)=M(Y^2)-[M(Y){]}^2=\frac{2^2+4^2+6^2+8^2+10^2}{5}-6^2=8$.
   • ${\sigma }_Y=\sqrt{8}\approx 2.828$.
4. Korrelációs együttható:
   • $r=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y}=\frac{26}{1.414\cdot 2.828}\approx 1$

Konklúzió

A $X$ és $Y$ közötti korreláció $r=1$, tehát tökéletes pozitív lineáris kapcsolat van a változók között (ahogy $X$ nő, $Y$ is arányosan nő).

---

Lépések

1. Kovariancia kiszámítása

• A kovariancia a két változó közötti kapcsolat szorosságát méri.
• Számítás képlete:

$\text{Cov}(X,Y)=M(X\cdot Y)-M(X)\cdot M(Y)$

• A kovariancia mértékegységfüggő, így nehéz önmagában értelmezni.

---

2. Szórás kiszámítása

• A szórás a változó értékeinek átlagtól való eltérését méri.
• Szórásnégyzet (variancia) képlete:

$\text{Var}(X)=M(X^2)-[M(X){]}^2$

• A szórás ($\sigma$) a szórásnégyzet gyöke:

${\sigma }_X=\sqrt{\text{Var}(X)}$

---

3. Pearson-féle korrelációs együttható számítása

• A korrelációs együttható képlete:

$r=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y}$

• Tulajdonságok:
  • $-1\le r\le 1$: Az értékek mindig ebben az intervallumban vannak.
  • Pozitív $r$: Pozitív kapcsolat (egyik növekedése a másik növekedésével jár).
  • Negatív $r$: Negatív kapcsolat (egyik növekedése a másik csökkenésével jár).
  • $r=0$: Lineáris kapcsolat nincs kimutathatóan.
• Az előjel megegyezik a kovariancia előjelével.

---

4. Korreláció értéke és interpretációja

• Abszolút érték alapján:
  • $|r|<0.3$: Gyenge kapcsolat.
  • $0.3\le |r|<0.7$: Közepes kapcsolat.
  • $|r|\ge 0.7$: Erős kapcsolat.
• Konklúzió fontossága:
  • Ha $r=-0.13$: Gyenge negatív kapcsolat › A két mennyiség ellentétes irányba mozog.
  • Ha $r=0.3$: Gyenge pozitív kapcsolat › A két mennyiség hasonló irányba mozog, de nem túl erősen.
  • Minden esetben szövegesen is ki kell írni a dolgozatba a konklúziót.