Papposz-Guldin-tétel

1. Sablon:Label

Papposz–Guldin-tétel

A **Papposz–Guldin-tétel** a geometria és az integrálszámítás egyik alapvető tétele, amely a síkidomok és téridomok forgás során keletkező térfogatát és felszínét írja le. A tétel két részre osztható: az egyik a felszínre, a másik a térfogatra vonatkozik.

A tétel megfogalmazása

1. 1. 1. 1. 1. Tétel (Felszín)

Ha egy síkbeli görbét egy rögzített tengely körül megforgatunk, akkor a forgatás során keletkező forgásfelület felszíne: $A=L\cdot d,$ ahol:

• $L$ a görbe ívhossza,
• $d$ a görbe súlypontjának távolsága a forgástengelytől.

1. 1. 1. 1. 2. Tétel (Térfogat)

Ha egy síkbeli tartományt egy rögzített tengely körül megforgatunk, akkor a forgatás során keletkező forgástest térfogata: $V=A\cdot d,$ ahol:

• $A$ a forgatandó síkbeli tartomány területe,
• $d$ a tartomány súlypontjának távolsága a forgástengelytől.

Magyarázat

A tétel alapja a forgatási szimmetria és a súlypont fogalma: 1. **Forgás során keletkező felszín:** A forgatott görbe ívhossza „körutakat” ír le, amelyek összességében meghatározzák a felszín nagyságát. 2. **Forgás során keletkező térfogat:** A forgatott terület súlypontja körüli forgás „térfogatot” eredményez, amely arányos a terület nagyságával és a súlypont forgástengelytől mért távolságával.

Fontos, hogy a görbe vagy tartomány nem érintheti a forgástengelyt, mert a tétel csak ilyen esetekre alkalmazható.

Példa

1. **Forgásfelület felszíne:**

  Legyen adott egy körív, amelynek ívhossza $L=2\pi r$, és távolsága a forgástengelytől $d=h$. A keletkező felszín:
  $A=L\cdot d=2\pi r\cdot h.$

2. **Forgástest térfogata:**

  Forgassunk meg egy félkörívet egy átmérője körüli tengely mentén. A félkör területe $A=\frac{1}{2}\pi r^2$, és a súlypont távolsága a forgástengelytől $d=\frac{4r}{3\pi }$. A keletkező forgástest térfogata:
  $V=A\cdot d=\frac{1}{2}\pi r^2\cdot \frac{4r}{3\pi }=\frac{2r^3}{3}.$

Ez a térfogat a gömb térfogatának felét adja, ami várható is, hiszen a félkört forgattuk meg.

Alkalmazások

A Papposz–Guldin-tételt széles körben használják a geometriában, a fizikai rendszerek elemzésében és a mérnöki gyakorlatban:

• **Fizikai modellezés:** Forgástestek térfogatának és felszínének számítása (például hengerek, kúpos formák).
• **Mérnöki alkalmazások:** Hidak, csövek és forgási szimmetriát mutató szerkezetek elemzése.
• **Folyadékdinamika:** Forgástestek térfogatának számítása a folyadékok térfogati tulajdonságainak meghatározásához.

Történet

A tétel története az ókori Görögországba nyúlik vissza, ahol Papposz Alexandrosz görög matematikus (i.sz. 3. század) írta le az alapját. A középkorban Paul Guldin svájci matematikus (16. század) újrafogalmazta és népszerűsítette, ezért a tételt gyakran az ő nevén is emlegetik.

Megjegyzések

• A Papposz–Guldin-tétel csak olyan görbékre és területekre alkalmazható, amelyek súlypontja jól definiált.
• A tétel segítségével bonyolult forgástestek térfogata és felszíne egyszerű integrálok segítségével meghatározható.
• A tétel kiterjeszthető háromdimenziós testek súlypontjának és térfogatának analízisére is.