Normális eloszlás sűrűségfüggvénye

1. Sablon:Humatek A normális eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás, amelyet gyakran használnak a statisztikában és a valószínűségszámításban, mivel sok természetes jelenség közel normális eloszlást mutat. A normális eloszlás sűrűségfüggvénye (PDF) a következő formában van megadva:

Sűrűségfüggvény

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye a következő képlettel írható le:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

ahol:

• $x$ a folytonos valószínűségi változó,
• $\mu$ a normális eloszlás várható értéke (az eloszlás középpontja),
• $\sigma$ a normális eloszlás szórása,
• ${\sigma }^2$ a szórás négyzet (variancia),
• $e$ az Euler-féle szám, körülbelül 2.71828.

Főbb Jellemzők

1. Forma: A normális eloszlás sűrűségfüggvénye harang alakú, szimmetrikus a $\mu$ körül. A görbe középpontjában ($\mu$) található a legmagasabb pont.

2. Jellemzők:

• A normális eloszlás terjedelme: $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
• A várható érték ($E[X]$) és a medián egyenlő, és a görbe szimmetriájából adódóan a módusz is ezen az értéken található.
• A sűrűségfüggvény integrálja az egész tartományon 1: $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1$$

3. Standard Normális Eloszlás: Ha $\mu =0$ és $\sigma =1$, akkor a normális eloszlás standard normális eloszlásnak nevezik. A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye a következőképpen alakul: $$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$$ ahol $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$ a standardizált változó.

Gyakorlati Alkalmazás

A normális eloszlás gyakran előfordul különböző területeken, például: - Statisztikai elemzés: Az adatok eloszlásának vizsgálatára, mintaátlagok és a populációk jellemzésére. - Minőségellenőrzés: A gyártási folyamatok variabilitásának és teljesítményének értékelésére. - Pénzügyi elemzés: A kockázatok és hozamok modellezésére a tőkepiacokon.

Összegzés

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye kulcsszerepet játszik a valószínűségszámításban és a statisztikában. Az eloszlás jellemzői lehetővé teszik a véletlenszerű változók viselkedésének és kapcsolataik elemzését, valamint előrejelzések készítését különböző tudományterületeken. Sablon:Hunl