Normálegyenletrendszer

1. Sablon:Label A normálegyenletrendszer (vagy normál egyenletrendszer) a statisztikában és a lineáris regresszióban használt fogalom, amely a legkisebb négyzetek módszerével kapcsolatos. Ez a módszer segít a legjobb illeszkedésű egyenes (vagy többdimenziós hipersík) megtalálásában egy adott adathalmazon. A normálegyenletrendszer a regressziós koefficiens meghatározásához szükséges egyenletek rendszerét jelenti.

A normálegyenletrendszer lépései

1. Adatok gyűjtése: Készítsük elő az adatokat, amelyeket a modellbe szeretnénk illeszteni. Az adatokat jellemzően $n$ megfigyelésből álló mintaként képzeljük el, ahol minden megfigyelésnek van egy $y$ (változó) és egy vagy több $x$ (független változók).

2. Regrressziós modell felállítása: A lineáris regresszió standard formája: $$y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+{\beta }_2{x}_{i2}+\dots +{\beta }_k{x}_{ik}+{ϵ}_i$$ ahol: - $y_i$ a függő változó, - ${\beta }_0$ az y-tengely metszéspontja, - ${\beta }_j$ a regressziós koefficiens (j = 1, 2, ..., k), - $x_{ij}$ a független változók, - ${ϵ}_i$ a hiba tag.

3. Normálegyenletek meghatározása: A legkisebb négyzetek módszerének segítségével a normálegyenletek a következő formában írhatók fel: $$\left[\begin{array}{ccccc}n& \sum x_1& \sum x_2& \dots & \sum x_k\\ \sum x_1& \sum x_1^2& \sum x_1{x}_2& \dots & \sum x_1{x}_k\\ \sum x_2& \sum x_1{x}_2& \sum x_2^2& \dots & \sum x_2{x}_k\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \sum x_k& \sum x_1{x}_k& \sum x_2{x}_k& \dots & \sum x_k^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\\ {\beta }_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sum y\\ \sum y{x}_1\\ \sum y{x}_2\\ ⋮\\ \sum y{x}_k\end{array}\right]$$

4. Kifejezés megoldása: A fenti egyenletrendszert megoldva meghatározhatjuk a $\beta$ koefficienseket. Ezek adják meg a legjobb illeszkedésű egyenes (vagy sík) paramétereit.

Példa Tegyük fel, hogy van egy egyszerű lineáris regressziós modellünk, ahol egy függő változót $y$ a független változó $x$ segítségével próbálunk megjósolni. Az adatok a következők:

- $y=[2,3,5,7]$ - $x=[1,2,3,4]$

A normálegyenletrendszert a következő lépésekben határozzuk meg:

1. Kiszámoljuk az összes szükséges értéket: - $n=4$ - $\sum y=2+3+5+7=17$ - $\sum x=1+2+3+4=10$ - $\sum x^2=1^2+2^2+3^2+4^2=30$ - $\sum xy=(1\cdot 2)+(2\cdot 3)+(3\cdot 5)+(4\cdot 7)=66$

2. Összeállítjuk a normálegyenletrendszert: $$\left[\begin{array}{cc}4& 10\\ 10& 30\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}17\\ 66\end{array}\right]$$

3. Megoldjuk az egyenletrendszert: A megoldás során a koefficiensek ${\beta }_0$ és ${\beta }_1$ értékeit meghatározzuk, amelyek segítenek a lineáris kapcsolat leírásában.

Összegzés A normálegyenletrendszer a legkisebb négyzetek módszerének matematikai kerete, amely lehetővé teszi a regressziós modellek koefficienseinek meghatározását. Használata elterjedt a statisztikai elemzésekben és a gépi tanulásban, mivel segít a predikciók és az adatok közötti kapcsolat pontosabb modellezésében. Sablon:Hunl