Nagy Fermat-tétel

1. Sablon:Humatek Az $a^n+b^n=c^n$ diofantoszi egyenletnek nincs megoldása 2-nél nagyobb egész n esetén a nemnulla egész számok körében. Természetesen n = 2-re az egyenletnek megoldásai a pitagoraszi számhármasok. $n=2$-re a jól ismert Pitagorasz-tételt leíró egyenletet ($a^2+b^2=c^2$) kapjuk, melynek van (végtelen sok) egész megoldása: például 3, 4, 5 vagy 5, 12, 13. Ezeknek az ún. pitagoraszi számhármasoknak a léte azt mutatja, hogy van olyan eset, hogy két, egységnyi oldalú négyzetekből összerakott négyzetből pontosan kirakható egy nagyobb négyzet. A Fermat-tétel a síkbeli (2 dimenziós) Pitagorasz-tétel n dimenziós általánosításáról szól: azt mondja ki, hogy ezt térben (sőt bármely 2-nél nagyobb dimenzió esetén!) sosem lehet megtenni, azaz két, egységnyi oldalú kockákból épített kocka kiskockái sosem adnak ki egy teljes nagyobb kockát.

---

Nagy Fermat-tétel

Definíció

A Nagy Fermat-tétel (más néven Fermat utolsó tétele) Pierre de Fermat francia matematikus híres állítása, amelyet több mint 350 éven keresztül nem sikerült bizonyítani, egészen 1994-ig, amikor Andrew Wiles brit matematikus végül sikeresen bebizonyította.

A tétel kimondja, hogy nincs olyan három pozitív egész szám $a$, $b$ és $c$, amely kielégíti az alábbi egyenletet, ha $n$ egy 2-nél nagyobb egész szám: $$a^n+b^n=c^n$$ Ez azt jelenti, hogy nem létezik olyan három pozitív egész szám, amely teljesíti a Pithagorasz-tételt a $n>2$ esetekben. A Fermat-tétel tehát a következő állítást mondja ki:

> Tétel (Nagy Fermat-tétel): Nincs olyan három pozitív egész szám $a$, $b$ és $c$, amely kielégíti az egyenletet: $$a^n+b^n=c^n$$ ahol $n$ egy 2-nél nagyobb egész szám.

Fontos Fogalmak

1. Diophantikus egyenletek

- A Diophantikus egyenletek olyan polinomiális egyenletek, amelyek csak egész számokkal rendelkeznek megoldásként. A Fermat-tétel is egy Diophantikus egyenletet jelent, ahol az ismeretlenek pozitív egész számok.

2. Fermat sejtés

- A Fermat sejtés eredetileg úgy hangzott, hogy Fermat egy bizonyos marginális térben megjegyezte, hogy talált egy "gyönyörű" bizonyítékot, de azt soha nem írták le, és így évszázadokig a tételt csupán sejtésként kezelték. Ez a sejtés 1994-ben vált bizonyítványossá, miután Wiles bizonyította.

3. Néhány kísérleti megoldás

- A tétel különböző kicsi értékekre tesztelve igaz, például $n=3$, $n=4$, stb., de ezek nem bizonyítják a tételt általánosan.

Bizonyítás

A Nagy Fermat-tétel bizonyítása Andrew Wiles nevéhez fűződik, aki 1994-ben sikeresen bebizonyította, miután éveken keresztül dolgozott rajta. Wiles bizonyítása rendkívül bonyolult, és modern matematikai eszközöket, például a moduláris formák és az elliptikus görbék elméleteit alkalmazta. A bizonyításot alátámasztó munkát a következő lépések jellemzik:

1. A tétel megerősítése

- Wiles célja az volt, hogy bizonyítsa, hogy egy elmélet, a Taniyama-Shimura-Weil sejtés, amely a moduláris formák és elliptikus görbék kapcsolatát írja le, elegendő feltétel a Fermat-tétel bizonyításához.

2. A modulláris formák és elliptikus görbék alkalmazása

- Wiles a bizonyításhoz az elliptikus görbék elméletét és azok kapcsolatát a modulláris formákkal használta fel. A sejtést, amely a moduláris formák elliptikus görbékkel való kapcsolatát írja le, ekkorra bizonyították, és Wiles sikeresen alkalmazta ezt a kapcsolódó tételt.

3. Az ellipszisek és a Fermat-tétel összekapcsolása

- Wiles bizonyította, hogy a Fermat-tétel ellentmondásos lenne, ha a Taniyama-Shimura-Weil sejtés igaz lenne, és ezzel közvetve megoldotta Fermat problémáját.

4. A hiba javítása

- A Wiles által bemutatott első bizonyításban egy kis hiba merült fel, amelyet két évvel később sikeresen kijavított. A végső és helyes bizonyítás 1995-re készült el, és ezáltal Fermat utolsó sejtése hivatalosan is bebizonyosodott.

Példa

Példa 1: Fermat sejtése 2-es kitevővel

- Ha $n=2$, akkor a Pithagorasz-tétel érvényes. Például a 3-4-5 háromszög kielégíti a következő egyenletet: $$3^2+4^2=5^2$$ Ez az egyenlet igaz, de a Fermat-tétel azt mondja, hogy ha $n>2$, akkor ilyen egész számú megoldás nem létezik.

Példa 2: $n=3$ vagy nagyobb kitevőkkel

- Ha $n=3$, akkor a Fermat-tétel kimondja, hogy nincs olyan három pozitív egész szám, amely kielégíti az egyenletet: $$a^3+b^3=c^3$$ Ez az egyenlet nem ad pozitív egész számú megoldást, és a tétel az ilyen típusú kitevőkre általánosan is igaz.

Fontos Következmények

1. Halmazelméleti következmények:

  - A tétel a számelméletben és az algebrai geometriában alapvető szerepet játszik, mivel közvetlenül kapcsolódik a Diophantikus egyenletek megoldásához.

1. Matematikai eszközök fejlődése:

  - A Fermat-tétel bizonyítása hozzájárult a modern matematikai eszközök, mint a moduláris formák és elliptikus görbék fejlődéséhez.

1. Számelméleti alkalmazások:

  - A tétel hozzájárul a titkosításhoz, mint például a nyilvános kulcsú titkosításhoz, mivel kapcsolódik a számelméleti problémák megoldásához.

Összegzés

A Nagy Fermat-tétel azt állítja, hogy nincs olyan három pozitív egész szám, amely kielégíti az $a^n+b^n=c^n$ egyenletet, ha $n>2$. A tétel több mint három évszázadon át megoldatlan volt, míg 1994-ben Andrew Wiles matematikus sikeresen bebizonyította. A bizonyítás során modern matematikai eszközöket, mint a moduláris formákat és elliptikus görbéket használtak, és a tétel megoldása alapvető hatással volt a matematikai tudományok fejlődésére.

• Sablon:En: Sablon:T

• kis Fermat-tétel