Momentumgeneráló függvény

1. Sablon:Humatek A momentumgeneráló függvény a valószínűségi változókhoz rendelt függvények egyike. Sok esetben definiálható a függvény a nulla egy környezetében a komplex síkon vagy a valós számok egy szakaszán, és deriváltjai segítenek kiszámítani a valószínűségi változó momentumait, innen a neve.

Definíció

Egy $X$ valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye:

$M_X(t):=E\left(e^{tX}\right)$,

ahol $t$ a függvény változója. A momentumgeneráló függvény ott van értelmezve, ahol a jobb oldali várható érték létezik. Mindenesetre a konvergencia igaz a $t=0$ pontban. Sok esetben ennek egy környezetében is teljesül a konvergencia, így a függvény hatványsorba fejthető:

$M_X(t)=E\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(tX{)}^n}{n!}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}E(X^n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}{m}_X^n$.

Ahol $0^0:=1$ és $m_X^n=E(X^n)$ az $X$ momentumai.

A momentumgeneráló függvény csak $X$ eloszlásától függ. Ha a valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye a nulla egy környezetében is konvergál, akkor az eloszlásnak van momentumgeneráló függvénye. Ha $M_X(t)$ csak a nullában értelmezhető, akkor az eloszlásnak nincs momentumgeneráló függvénye.