Liouville-tétel

1. Sablon:Label

Liouville-tétel

Definíció

A Liouville-tétel a komplex analízis egyik alapvető tétele, amely kimondja, hogy egy korlátos és teljes komplex függvény állandó.

Fontos Fogalmak

Teljes függvény

- Egy függvény teljes, ha az egész komplex síkon analitikus.

Korlátos függvény

- Egy $f(z)$ függvény korlátos, ha létezik egy $M>0$, hogy minden $z\in ℂ$-re $|f(z)|\le M$.

Bizonyítás

1. Előkészítés

- Legyen $f(z)$ egy teljes és korlátos függvény, tehát $|f(z)|\le M$ minden $z\in ℂ$-re.

2. Cauchy-integrál formula alkalmazása

- A Cauchy-integrál formula szerint, ha $f(z)$ analitikus egy tartományban, akkor bármely $z_0$ pontra a függvény értéke: $$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-z_0|=R}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz,$$ ahol $R>0$, és a kör $|z-z_0|=R$ mentén vesszük az integrált.

3. Becsüljük meg az integrált

- Az $|f(z)|$ korlátosságát ($|f(z)|\le M$) és a kör sugarát figyelembe véve: $$|f(z_0)|\le \frac{1}{2\pi }\underset{|z-z_0|=R}{\int }\frac{|f(z)|}{|z-z_0|}|dz|.$$ - Mivel $|f(z)|\le M$ és $|z-z_0|=R$, az integrál abszolút értéke: $$|f(z_0)|\le \frac{1}{2\pi }\cdot \frac{M}{R}\cdot 2\pi R=M.$$

4. Határérték alkalmazása

- Vegyük a határt $R\to \mathrm{\infty }$-ben. Ekkor az $\frac{M}{R}\to 0$, ami azt jelenti, hogy $f(z_0)$ nem változhat $z_0$-tól függően.

5. Következtetés

- Ha $f(z_0)$ bármely $z_0$ esetén ugyanazt az értéket veszi fel, akkor $f(z)$ állandó.

Példák

Példa 1: Állandó függvény

Legyen $f(z)=c$, ahol $c\in ℂ$. Ez nyilván teljes és korlátos ($|f(z)|=|c|$), és a tétel szerint $f(z)$ állandó.

Példa 2: Exponenciális függvény

Legyen $f(z)=e^z$. Ez teljes, de nem korlátos, mivel $|e^z|\to \mathrm{\infty }$, ha $z\to \mathrm{\infty }$. Így a tétel nem alkalmazható, és $f(z)$ nem állandó.

Fontos Következmények

1. Analitikus függvények tulajdonságai:

  - A tétel megmutatja, hogy az analitikus függvények nem lehetnek egyszerre korlátosak és nem állandók.

1. Maximumelv következménye:

  - A Liouville-tétel a komplex függvények maximumelvéből következik, amely szerint egy nem állandó analitikus függvény maximumát csak a tartomány határán érheti el.

1. Alkalmazás a számelméletben:

  - A Liouville-tétel fontos szerepet játszik a komplex analízis számos eredményében, például a Picard-tételek bizonyításában.

Összegzés

A Liouville-tétel egyszerű, mégis erőteljes eszköz a komplex analízisben. Megmutatja, hogy egy teljes és korlátos függvény csak állandó lehet. Ez a tétel számos további eredmény alapját képezi a komplex függvénytanban és a matematikai fizikában.

• Sablon:En: Sablon:T