Lagrange-féle középértéktétel

1. Sablon:Label A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.

Ha f folytonos függvény a zárt $[a,b]$ intervallumban és differenciálható a nyílt $(a,b)$ intervallumban, akkor van olyan $a<c<b$ szám, amire

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

teljesül.

Ez körülbelül azt jelenti: ha húzunk egy vonalat a két végpont között, akkor lesz legalább egy pont a függvényen, aminek a deriváltja párhuzamos ezzel a vonallal.

Egy példán keresztül egyszerűbb megérteni. Autóval utaztunk egyik városból egy másikba és az átlagsebességünk 100 km/óra volt. Ahhoz, hogy pontosan ennyi legyen az átlagsebesség, vagy konstans 100 km/órával kellett mennünk, vagy pedig néha gyorsabban, néha lassabban. Ha lassabban, akkor később gyorsabban is kell mennünk, hogy az átlagsebesség valóban 100 km/óra legyen.

Ez a tétel azt mondja ki, hogy valamikor az út során kell lennie legalább egy pontnak, amikor a kocsi pontosan 100 km/órával ment - az átlagsebességével.

---

Lagrange-féle középértéktétel

A **Lagrange-féle középértéktétel** a valós analízis egyik alapvető tétele, amely az egyváltozós differenciálható függvényekre vonatkozik. Ez általánosítja a Rolle-tételt, és összekapcsolja a függvény változását a deriváltjával.

Tétel

Legyen $f:[a,b]\to ℝ$ egy függvény, amely:

1. folytonos az $[a,b]$ intervallumon,
2. differenciálható az $(a,b)$ intervallumon.

Ekkor létezik egy $c\in (a,b)$ pont, amelyre:

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Ez azt jelenti, hogy a függvény $f$ egyik érintőjének meredeksége az $[a,b]$ intervallumon megegyezik a szelővonal meredekségével, amely áthalad az $(a,f(a))$ és $(b,f(b))$ pontokon.

---

Bizonyítás

1. Új függvény definiálása

Definiáljunk egy segédfüggvényt, amely kapcsolatot teremt a $f^{\prime }(x)$ és a szelővonal meredeksége között. Az új függvény legyen:

$$g(x)=f(x)-[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)].$$

Ez a függvény a $f(x)$ és az $[a,b]$ intervallumon meghatározott szelővonal közötti különbséget adja.

---

2. $g(x)$ tulajdonságai

A $g(x)$ segédfüggvény tulajdonságai:

• $g(x)$ folytonos az $[a,b]$-n, mert $f(x)$ folytonos.
• $g(x)$ differenciálható az $(a,b)$-n, mert $f(x)$ differenciálható.
• $g(a)=g(b)=0$, mert:

$$g(a)=f(a)-[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)]=0,$$ és $$g(b)=f(b)-[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)]=0.$$

---

3. Rolle-tétel alkalmazása

A $g(x)$ folytonos az $[a,b]$-n, differenciálható az $(a,b)$-n, és teljesül, hogy $g(a)=g(b)=0$. Ezért a Rolle-tétel alapján létezik egy $c\in (a,b)$, amelyre:

$$g^{\prime }(c)=0.$$

---

4. $g^{\prime }(x)$ kiszámítása

Számítsuk ki $g^{\prime }(x)$-et:

$$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

A $g^{\prime }(c)=0$ alapján:

$$f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0.$$

Ebből:

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

---

Összefoglalás

A Lagrange-féle középértéktétel szerint létezik legalább egy olyan $c\in (a,b)$, ahol a függvény érintője párhuzamos az $(a,f(a))$ és $(b,f(b))$ pontokat összekötő szelővel. Ez a $c$ pont a függvény változási sebességét kapcsolja az intervallum átlagos változási sebességéhez.

Sablon:Hunl