Kétváltozós exponenciális eloszlás

1. Sablon:Humatek A bivariate exponenciális eloszlás egy olyan valószínűségi eloszlás, amely két korrelált véletlen változó közös viselkedését modellezi, gyakran élettartamok vagy várakozási idők esetén. Az egyváltozós exponenciális eloszlást általában két dimenzióra terjeszti ki.

Meghatározás A bivariate exponenciális eloszlás egy elterjedt formáját Marshall és Olkin vezették be. Két véletlen változó, $X$ és $Y$ esetén a közös kumulatív eloszlásfüggvény (CDF) a következőképpen adható meg:

$$F_{X,Y}(x,y)=1-e^{-{\lambda }_{1}x-{\lambda }_{2}y-{\lambda }_3\min (x,y)},x,y\ge 0,$$

ahol: - ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3>0$ az eloszlás paraméterei. - ${\lambda }_3$ a $X$ és $Y$ közötti függőséget méri. Ha ${\lambda }_3=0$, akkor $X$ és $Y$ függetlenek.

Tulajdonságok 1. Marginalis Eloszlások: A $X$ és $Y$ marginals eloszlása exponenciális eloszlás, amely a ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ és ${\lambda }_3$ paraméterekkel van összefüggésben: - $F_X(x)=1-e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_3)x}$ - $F_Y(y)=1-e^{-({\lambda }_2+{\lambda }_3)y}$

2. Közös PDF: A közös valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF) a közös CDF részleges deriváltjával nyerhető: $$f_{X,Y}(x,y)=({\lambda }_1+{\lambda }_3)({\lambda }_2+{\lambda }_3)e^{-{\lambda }_{1}x-{\lambda }_{2}y-{\lambda }_3\min (x,y)}$$

3. Függőségi Szerkezet: Az $X$ és $Y$ közötti függőséget a ${\lambda }_3$ paraméter szabályozza. A nagyobb ${\lambda }_3$ értékek erősebb függőséget jeleznek a két véletlen változó között.

Alkalmazások A bivariate exponenciális eloszlás hasznos a megbízhatósági elméletben, a sorban állási elméletben és a túlélési elemzésben, különösen olyan rendszerek modellezésében, ahol két komponens együtt hibásodhat meg vagy befolyásolhatja egymás meghibásodási idejét. Sablon:Hunl