Komplex konjugált

Sablon:Hunfn A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a $z=a+ib$ komplex szám (ahol $a$ és $b$ valós számok) konjugáltja $\bar{z}=a-ib.$ A komplex konjugáltat időnként $z^{*}$-gal jelölik. A továbbiakban a jelölés $\overline{z}$ lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélés. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot $1\times 1$-es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például $\overline{(3-2i)}=3+2i$, $\bar{i}=-i$ és $\bar{7}=7$. A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-koordinátarendszerben az $x$-tengely tartalmazza a valós számokat, az $y$-tengely pedig az $i$ többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az $r{e}^{i\varphi }$ konjugáltja $r{e}^{-i\varphi }$. Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

Trigonometrikus alakban: Tetszőleges $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ és $w=s(\cos \psi +i\sin \psi )$ nem 0 komplex számokra $\overline{z}=r(\cos (-\phi )+i\sin (-\phi ))$

• $\overline{\stackrel{‾}{z}}=z$
• $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
• $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$
• $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$
• $\overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$
• $z=\bar{z}$ akkor és csak akkor, ha $z\in ℝ$
• $z+\bar{z}=2\mathrm{R}\mathrm{e}z,z-\bar{z}=(2\mathrm{I}\mathrm{m}z)i$
• $z\bar{z}=x^2+y^2$

A komplex konjugált jelölését használva tehát a komplex számok hányadosát az alábbi módon számolhatjuk ki:

• $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}=\frac{z_1\overline{z_2}}{x_2^2+y_2^2}$

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:En: Sablon:T