Kolmogorov-axiómák

1. Sablon:Humatek A Kolmogorov-axiómák a modern valószínűségszámítás alapjait képezik. Ezek az axiómák formálisan definiálják a valószínűségi mezőt (probability space) és a valószínűségi mértéket. Az axiómákat Andrej Kolmogorov orosz matematikus vezette be 1933-ban.

Legyen $\mathrm{\Omega }$ az alaphalmaz (mintatér), amely tartalmazza az összes lehetséges kimenetelt egy adott kísérlethez vagy eseményhez. Az események halmazán ($ℱ$) egy valószínűségi mérték (P) felel meg a következő három axiómának:

1. Nemnegativitás (Pozitivitás) Minden $A\in ℱ$ eseményre igaz, hogy: $$P(A)\ge 0$$ Azaz, minden esemény valószínűsége nem lehet negatív.

2. A teljes esemény valószínűsége Az alaphalmaz ($\mathrm{\Omega }$), vagyis az összes lehetséges kimenetel uniójának valószínűsége 1: $$P(\mathrm{\Omega })=1$$ Ez azt jelenti, hogy az összes esemény bekövetkezésének valószínűsége biztos.

3. Additivitás (Diszjunkt események összegezhetősége) Ha $A_1,A_2,\dots$ egymást kölcsönösen kizáró események (azaz $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$ minden $i\ne j$-re), akkor az uniójuk valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével: $$P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i)$$ Ez a szigorú additivitási axióma, ami kiterjed végtelen sok eseményre is.

---

Következmény: A Kolmogorov-axiómákból származik néhány fontos tulajdonság:

- Komplementer valószínűség: Ha $A$ egy esemény, akkor $A$ komplementerének ($A^c$) valószínűsége: $$P(A^c)=1-P(A)$$

- Üres halmaz valószínűsége: Az üres halmaz ($\mathrm{\varnothing }$) valószínűsége mindig 0: $$P(\mathrm{\varnothing })=0$$

Ezek az axiómák biztosítják a valószínűségszámítás koherens és konzisztens struktúráját. Sablon:Hunl