Khí-négyzet-eloszlás

1. Sablon:Label A khi-négyzet-eloszlás (χ²-eloszlás) egy folytonos valószínűségi eloszlás, amelyet széles körben használnak statisztikai elemzésekben, különösen a hipotézisvizsgálatok és a varianciaanalízis (ANOVA) területén. Ezt az eloszlást általában a minta varianciájának és a normál eloszlású változók négyzetének a vizsgálatára használják.

Definíció

A khi-négyzet-eloszlás $k$ szabadsági fokú eloszlásának értéke ${\chi }^2$ a következő képlettel definiálható:

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^k{Z}_i^2,$$

ahol $Z_i$ normál eloszlású (átlag = 0, szórás = 1) független valószínűségi változók.

Jellemzők

1. Szabadsági fokok: A khi-négyzet-eloszlás paramétere a szabadsági fokok ($k$), amely általában a vizsgált adatok számával függ össze. Minél nagyobb a szabadsági fok, annál közelebb áll az eloszlás a normál eloszláshoz.

2. Sűrűségfüggvény: A khi-négyzet-eloszlás sűrűségfüggvénye a következőképpen néz ki: $$f(x;k)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{(k/2)-1}{e}^{-x/2},& \text{ha }x>0\\ 0,& \text{máskülönben}\end{array}$$ ahol $\mathrm{\Gamma }$ a gamma-függvény.

3. Várható érték és szórás: - Várható érték: $$E({\chi }^2)=k.$$ - Szórás: $$\sigma =\sqrt{2k}.$$

Alkalmazások

1. Hipotézisvizsgálat: A khi-négyzet-eloszlást gyakran használják a hipotézisvizsgálatokban, például a függetlenség vizsgálatára kereszttáblákban.

2. Jó illeszkedés vizsgálata: A χ²-teszt segítségével megállapíthatjuk, hogy egy megfigyelt eloszlás illeszkedik-e egy elvárt eloszláshoz.

3. Varianciaelemzés: Az ANOVA keretében a különböző csoportok varianciájának összehasonlítására is használják.

Összegzés

A khi-négyzet-eloszlás egy fontos statisztikai eloszlás, amely lehetővé teszi a valószínűségi modellek és hipotézisek tesztelését. Az eloszlás tulajdonságai és a hozzá kapcsolódó tesztek széleskörű alkalmazást nyernek a tudományos kutatásban és az adatelemzésben. Sablon:Hunl