Kezdeti σ-algebra

1. Sablon:Label A kezdeti σ-algebra a matematikában a mértékelmélet egy fogalma. Arra használják, hogy σ-algebrát hozzanak létre olyan tereken, amelyeken eredetileg nem volt struktúra. Speciális esetei a nyom-σ-algebra és a szorzat-σ-algebra. Szorosan összetartozik a kezdeti topológiával. Ez a legnagyobb σ-algebra, ahol függvények egy halmaza mérhető. Nevezik úgy is, mint függvények által generált σ-algebra, így a valószínűségi változók által generált σ-algebrák is kezdeti σ-algebrák. A generált algebra megnevezés nem egyértelmű, mivel halmazrendszerekkel is generálható σ-algebra.

Definíció

Adva legyenek az $f_i:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}_i$ leképezések, és mértékterek egy $({\mathrm{\Omega }}_i,{𝒜}_i)$ családja egy nemüres $I$ indexhalmazzal. Ekkor az

$ℐ(f_i,i\in I):=\sigma (\bigcup _{i\in I}{f}_i^{-1}({𝒜}_i))$

σ-algebra $\mathrm{\Omega }$-n az $(f_i{)}_{i\in I}$ leképezések kezdeti σ-algebrája, vagy az $(f_i{)}_{i\in I}$ által generált σ-algebra.