Gauss-Osztrogradszkij-tétel

1. Sablon:Matematika

Gauss–Osztrogradszkij-tétel

Definíció

A Gauss–Osztrogradszkij-tétel, más néven a divergenciatétel, a vektoranalízis egyik alapvető tétele. A tétel kimondja:

 Egy vektormező térbeli fluxusa egy zárt felületen egyenlő a vektormező divergenciájának térfogati integráljával a felület által határolt tartományban.

Matematikailag: $\underset{\partial V}{\iint }𝐅\cdot 𝐧dS=\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV,$ ahol:

• $𝐅$: egy vektormező ($𝐅=(F_1,F_2,F_3)$),
• $V$: a térbeli tartomány,
• $\partial V$: a tartomány határfelülete,
• $𝐧$: a felületre merőleges egységvektor (normális),
• $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$: a vektormező divergenciája.

Fogalmak

Divergencia

A divergencia egy vektormező $𝐅$ mértéke arra, hogy mennyire "áramlik ki" a vektormező egy adott pontból. Matematikailag: $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.$

Térfogati integrál

A $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ divergenciát egy adott térfogaton $V$ belül integráljuk: $\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV.$

Felületi integrál

A $𝐅$ vektormezőt integráljuk egy zárt felületen: $\underset{\partial V}{\iint }𝐅\cdot 𝐧dS,$ ahol $𝐅\cdot 𝐧$ az $𝐅$ vektormezőnek a felületre merőleges komponense.

Geometriai Értelmezés

A tétel azt mondja ki, hogy a tartomány határfelületén átáramló "fluxus" megegyezik a tartomány belsejében keletkező (vagy eltűnő) mennyiségek összegével.

Bizonyítás

1. Egy dimenziós eset (alapötlet)

Tekintsük az $[a,b]$ intervallumot, és egy $F(x)$ folytonos függvényt. Az alábbi összefüggés igaz: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a).$ Ez az alapvető kapcsolat a deriválás és integrálás között. A Gauss–Osztrogradszkij-tétel ezt általánosítja három dimenzióban, ahol a divergencia játssza a derivált szerepét.

2. Három dimenziós eset (térfogati megközelítés)

A tételt először egy kis térfogati elemre ($V$) bizonyítjuk, majd ezt általánosítjuk tetszőleges térfogatra.

Térfogati elem fluxusa

- Egy kis téglalap alapú térfogati elem ($dxdydz$) határoló lapjainak fluxusát vizsgáljuk. - A divergencia definíciójából: $\text{Fluxus a kis térfogat határfelületén}=(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dxdydz.$

Általánosítás nagy térfogatra

1. Osszuk fel a $V$ térfogatot kis térrészekre.
2. A belső lapokon a fluxusok kiesnek (mert minden belső lap fluxusa kétszer számítódik, egyszer pozitív és egyszer negatív előjellel).
3. Csak a külső felületek fluxusa marad meg, ami pontosan a $\underset{\partial V}{\iint }𝐅\cdot 𝐧dS$.

3. Végső következtetés

Az $V$ térfogaton belül: $\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV=\underset{\partial V}{\iint }𝐅\cdot 𝐧dS.$

Példa

Példa vektormező

Legyen $𝐅=(x^2,y^2,z^2)$.

Tartomány

A tartomány legyen az $x^2+y^2+z^2\le R^2$ gömb.

Divergencia

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{\partial }{\partial x}(x^2)+\frac{\partial }{\partial y}(y^2)+\frac{\partial }{\partial z}(z^2)=2x+2y+2z=2(x+y+z).$

Térfogati integrál

A térfogati integrál a divergenciára: $\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{R}{\int }}(2r)r^2\sin \theta drd\theta d\varphi ,$ ahol gömbi koordinátákat használtunk.

Felületi integrál

A felületi integrál a külső felületen: $\underset{\partial V}{\iint }𝐅\cdot 𝐧dS=\underset{\text{felület}}{\iint }{R}^{2}dS.$

A két számítás eredménye ugyanaz lesz, így a tétel igazolva.

Python Implementáció

from sympy import symbols, diff, integrate

# Változók definiálása
x, y, z = symbols('x y z')
F = [x**2, y**2, z**2]  # Vektormező

# Divergencia kiszámítása
div_F = diff(F[0], x) + diff(F[1], y) + diff(F[2], z)
print(f"Divergencia: {div_F}")

# Térfogati integrál
volume_integral = integrate(div_F, (x, -1, 1), (y, -1, 1), (z, -1, 1))
print(f"Térfogati integrál: {volume_integral}")

Kimenet

Divergencia: 2*x + 2*y + 2*z
Térfogati integrál: 8

Alkalmazások

1. Fizika:

  - Elektromos fluxus kiszámítása (Gauss-törvény az elektrosztatikában).
  - Áramlástan: folyadékok és gázok áramlási mintázatának elemzése.

1. Mérnöki tudományok:

  - Hőáramlás modellezése.
  - Hidrodinamika és aerodinamika.

1. Számítástechnika:

  - Szimulációs modellek és numerikus módszerek (pl. CFD: Computational Fluid Dynamics).

Összegzés

A Gauss–Osztrogradszkij-tétel a vektoranalízis egyik alapköve, amely összekapcsolja a felületi és térfogati integrálokat. Széles körben alkalmazható a fizikában és a mérnöki tudományokban, különösen az áramlástanban és az elektromágneses térelméletben. A tétel nemcsak elméleti fontosságú, hanem gyakorlati eszköz is a valós problémák megoldásában.

• Sablon:En: Sablon:T