Függvény szélsőértéke

1. Sablon:Label A függvény szélsőértéke alatt azt értjük, amikor egy függvénynek lokális maximuma vagy minimuma van egy adott intervallumon belül, illetve ha globális maximumról vagy minimumról beszélünk, akkor az egész tartományra vonatkozóan.

1. Lokális szélsőértékek

Egy függvénynek lokális maximuma van egy pontban, ha az adott pont környezetében a függvényértékek kisebbek, mint a pontban felvett érték. Lokális minimum esetén pedig az adott pont környezetében a függvényértékek nagyobbak.

Matematikailag, ha $f(x)$ függvénynek $x=c$ pontban van lokális maximuma, akkor:

$$f(c)\ge f(x)\text{minden}x\text{közelében}.$$

Hasonlóan, lokális minimum esetén:

$$f(c)\le f(x)\text{minden}x\text{közelében}.$$

2. Globális szélsőértékek

Egy függvénynek globális maximuma van $x=c$ pontban, ha a függvény minden más pontban felvett értéke kisebb vagy egyenlő:

$$f(c)\ge f(x)\text{minden}x\text{értékére}.$$

Globális minimum esetén pedig:

$$f(c)\le f(x)\text{minden}x\text{értékére}.$$

Deriváltak használata a szélsőértékek megtalálásához

A szélsőértékek meghatározásában fontos szerepet játszanak a függvény deriváltjai:

- Első derivált: $f^{\prime }(x)=0$ szélsőérték jelölésére szolgálhat. - Második derivált: Ha $f^{\prime }(x)=0$ és $f^{″}(x)>0$, akkor a pontban lokális minimum van, míg ha $f^{″}(x)<0$, akkor lokális maximum.

Ez a módszer hasznos az optimális pontok keresésében és a függvények tulajdonságainak tanulmányozásában. Sablon:Hunl