Frobenius-tétel

1. Sablon:Humatek Minden véges Frobenius-csoport magja normálosztó.

---

Frobenius-tétel

A **Frobenius-tétel** az algebra és a mátrixelmélet egyik alapvető tétele, amely a valós számtest feletti osztályozható algebrák szerkezetét írja le. A tétel szerint egy véges dimenziós, egységelemes, asszociatív algebra, amelyben minden nemnulla elem invertálható, a valós számok, a komplex számok vagy a kvaterniók algebrájával izomorf.

A tétel megfogalmazása

Egy egységelemes, asszociatív, véges dimenziós algebra a valós számok teste ($ℝ$) felett, amelyben minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze (azaz osztható), izomorf az alábbi három algebrák egyikével:

• A valós számok teste ($ℝ$),
• A komplex számok teste ($ℂ$),
• A kvaterniók algebra ($ℍ$).

Magyarázat

A tétel azt írja le, hogy a valós számok fölött osztható algebrák szerkezete meglehetősen egyszerű, és három különböző típusra korlátozódik: 1. A valós számok ($ℝ$) az 1 dimenziós tér. 2. A komplex számok ($ℂ$) a 2 dimenziós tér. 3. A kvaterniók ($ℍ$) a 4 dimenziós tér.

Ezek mind asszociatívak, egységelemesek, és minden elemüknek van inverze.

A bizonyítás vázlata

A Frobenius-tétel bizonyítása a következő lépésekből áll:

1. Dimenzióelemzés

Legyen $A$ egy véges dimenziós, egységelemes, osztható algebra a valós számok fölött. Az algebra véges dimenziója miatt $A$ egy vektortér $ℝ$ felett, mondjuk $\dim (A)=n$.

• Ha $n=1$, akkor $A$ izomorf $ℝ$-ral.
• Ha $n=2$, akkor megmutatható, hogy $A$ izomorf $ℂ$-vel.
• Ha $n=4$, akkor $A$ izomorf $ℍ$-val.

2. Multiplikatív inverzió és egységelemes tulajdonságok

A tétel feltételei szerint $A$-ban minden nemnulla elem invertálható, és van egységelem. Ez kizárja a magasabb dimenziós algebrák esetét, amelyekben például nem léteznek inverzek minden elemre.

3. Az asszociativitás szerepe

A Frobenius-tétel alapvetően az asszociativitást is használja. Nem asszociatív algebrák (pl. az oktoniók) nem esnek a tétel hatálya alá.

4. Konstrukciós lépések

• A valós számok ($ℝ$) esetében a műveletek nyilvánvalóak.
• A komplex számok ($ℂ$) az ${ℝ}^2$ térben konstruálhatók a bővítéssel ($i^2=-1$).
• A kvaterniók ($ℍ$) az ${ℝ}^4$ térben definiálhatók az $i,j,k$ egységek tulajdonságainak kiterjesztésével, ahol például $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$.

Példa

1. A valós számok algebrai struktúrája: $ℝ$ egyszerűen az összeadás és szorzás műveletekkel definiált tér. 2. A komplex számok: $ℂ=\{a+bi\mid a,b\in ℝ,i^2=-1\}$. 3. A kvaterniók: $ℍ=\{a+bi+cj+dk\mid a,b,c,d\in ℝ,i^2=j^2=k^2=ijk=-1\}$.

Megjegyzések

• A Frobenius-tétel megmutatja, hogy a valós számok fölötti véges dimenziós osztható algebrák erősen korlátozottak.
• A tétel nem terjed ki nem asszociatív algebrákra, mint például az oktoniók, amelyek dimenziója 8, de nem asszociatívak.
• A tétel fontos szerepet játszik az algebra és a fizikában, különösen a kvaterniók alkalmazásainál.

• Sablon:En: Sablon:T