Folytonos változó

1. Sablon:Label A folytonos változó olyan valószínűségi változó, amely bármely intervallumban végtelen sok lehetséges értéket vehet fel. Ez azt jelenti, hogy a folytonos változók nem diszkrét értékek halmazából állnak, hanem egy folytonos tartományt ölelnek fel, például a reális számok bármely részét.

Jellemzők

1. Értékek Halmaza: A folytonos változó értékei egy intervallumra korlátozódhatnak, mint például $[a,b]$, ahol $a$ és $b$ valós számok, de lehet a teljes reálhalmaz is.

2. Valószínűségi Sűrűségfüggvény: A folytonos változók eloszlását a valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF) írja le. A PDF nem ad meg konkrét valószínűséget egy adott értékre, hanem azt mutatja meg, hogy az értékek milyen valószínűséggel fordulnak elő egy adott intervallumban.

- A sűrűségfüggvény integrálja adja meg a valószínűséget egy intervallumon belül:

$$P(a<X<b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$

ahol $f(x)$ a sűrűségfüggvény.

3. Várható Érték és Szórás: - A folytonos változó várható értéke (mean) a sűrűségfüggvény alapján számítható:

$$E(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$$

- A szórás (variance) pedig a következőképpen számítható:

$$\text{Var}(X)=E[(X-E(X){)}^2]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{2}f(x)dx$$

Példa

Normális Eloszlás: Az egyik legismertebb folytonos eloszlás a normális eloszlás, amelynek sűrűségfüggvénye a következő formában van:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

ahol $\mu$ a várható érték, $\sigma$ pedig a szórás.

Összegzés

A folytonos változók fontos szerepet játszanak a valószínűségszámításban és a statisztikában, lehetővé téve a valószínűségi eloszlások modellezését olyan jelenségekre, amelyek folyamatosan változnak. A folytonos változók segítenek abban, hogy pontosabb és reálisabb modelleket alakítsunk ki a valós világ adatainak elemzésére. Sablon:Hunl