Folytonos valószínűségi eloszlás

1. Sablon:Humatek A folytonos valószínűségi eloszlás (continuous probability distribution) olyan eloszlás, amelynél a valószínűségi változó bármely valós számot felvehet egy adott intervallumban. A legfontosabb különbség a diszkrét eloszlással szemben az, hogy a folytonos valószínűségi változónak nincs olyan konkrét értéke, amelyhez nem nulla valószínűség tartozna – azaz minden egyes konkrét érték felvételének valószínűsége zérus.

A folytonos valószínűségi eloszlások legfontosabb elemei:

1. sűrűségfüggvény (PDF - Probability Density Function)

A sűrűségfüggvény $f(x)$ segítségével határozható meg a folytonos valószínűségi eloszlás. Ez nem maga a valószínűség, hanem a "valószínűség sűrűsége" egy adott pont körül. A sűrűségfüggvény alaptulajdonságai: - $f(x)\ge 0$ minden $x$ esetén. - Az adott tartományon a valószínűség $f(x)$ integráljaként adódik: $$P(a\le \xi \le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$$ - A teljes tartományon a sűrűségfüggvény integrálja 1: $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1.$$

2. eloszlásfüggvény (CDF - Cumulative Distribution Function)

Az eloszlásfüggvény $F(x)$ megadja annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó egy adott $x$ értéknél kisebb legyen: $$F(x)=P(\xi \le x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$$ Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: - $0\le F(x)\le 1$ minden $x$-re. - $F(x)$ balról folytonos. - $F(x)$ monoton növekvő, vagyis ha $x_1<x_2$, akkor $F(x_1)\le F(x_2)$. - $F(x)\to 0$, ha $x\to -\mathrm{\infty }$, és $F(x)\to 1$, ha $x\to +\mathrm{\infty }$.

3. Példa: Normális eloszlás

Az egyik legismertebb folytonos eloszlás a normális eloszlás, amelynek sűrűségfüggvénye: $$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}),$$ ahol $\mu$ az eloszlás várható értéke, $\sigma$ pedig a szórása.

Használat

A folytonos eloszlások nagyon gyakoriak a valószínűségszámításban és statisztikában, mert sok valós életbeli jelenséget jól modelleznek, például a mérések zaját, emberek magasságát, vagy a hibák eloszlását egy gyártási folyamatban. Sablon:Hunl