Folytonos eloszlású valószínűségi változó

1. Sablon:Label A folytonos eloszlású valószínűségi változó olyan valószínűségi változó, amelynek lehetséges értékei egy folytonos tartományban találhatók, és az értékeinek előfordulási valószínűsége egy folytonos eloszlásfüggvény (sűrűségfüggvény) által van meghatározva. Ezen eloszlások jellemzője, hogy a valószínűségi változó értékeinek száma végtelen, és bármilyen intervallumon belül végtelen sok lehetséges érték létezik.

Főbb Jellemzők

1. Sűrűségfüggvény (PDF): A folytonos eloszlású valószínűségi változók esetén a valószínűségi eloszlás nem a konkrét értékekhez, hanem az intervallumokhoz kapcsolódik. A sűrűségfüggvény ($f(x)$) a következő tulajdonságokkal rendelkezik: - $f(x)\ge 0$ minden $x$ esetén. - A sűrűségfüggvény integrálja az egész tartományon egyenlő 1-gyel: $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1$$

2. Valószínűség Számítása: A folytonos valószínűségi változók esetén a konkrét értékek valószínűsége 0, így a valószínűségek kiszámítása intervallumok alapján történik: $$P(a<X<b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$ ahol $X$ a folytonos valószínűségi változó.

3. Várható Érték (E[X]): A folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke a következő képlettel számítható: $$E[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$$

4. Variancia ($Var(X)$): A variancia a várható érték négyzetének és a várható érték négyzetének különbsége: $$Var(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2$$ ahol $E[X^2]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2}f(x)dx$.

Példák Folytonos Eloszlású Valószínűségi Változókra

1. Normális Eloszlás: Az egyik legfontosabb és legelterjedtebb eloszlás, amelynek sűrűségfüggvénye a következőképpen néz ki: $$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$ ahol $\mu$ a várható érték, $\sigma$ a szórás.

2. Exponenciális Eloszlás: Gyakran használják az események közötti időszakok modellezésére. $$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x\ge 0)$$

3. Egységes Eloszlás: Az értékek egy zárt intervallumban egyenlő valószínűséggel fordulnak elő: $$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a}& \text{ha }a\le x\le b\\ 0& \text{máskülönben}\end{array}$$

Összegzés

A folytonos eloszlású valószínűségi változók a statisztikában és a valószínűségszámításban alapvető szerepet játszanak, lehetővé téve az intervallumokon belüli valószínűségek és jellemzők kiszámítását. A folytonos eloszlások segítségével modellezhetjük a természetes jelenségeket, például a magasságot, a súlyt, a méréseket, és sok más változót, amely folyamatosan változik. Sablon:Hunl