Események uniója

1. Sablon:Label Az események uniója a valószínűségelmélet egyik alapfogalma, amely két vagy több esemény együttes előfordulását jelenti. Formálisan, ha $A$ és $B$ két esemény, akkor az $A$ és $B$ események unióját $A\cup B$-nek nevezzük, és az az esemény, amikor legalább az egyik esemény bekövetkezik.

A Unió Valószínűsége

Két esemény uniójának valószínűsége a következőképpen számítható ki:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Ahol:

• $P(A)$ az $A$ esemény valószínűsége,
• $P(B)$ a $B$ esemény valószínűsége,
• $P(A\cap B)$ pedig a $A$ és $B$ események metszetének valószínűsége (azaz, amikor mindkét esemény bekövetkezik).

Példa

Tegyük fel, hogy van egy kockánk, és az $A$ esemény az, hogy a kocka 1-es számot mutat, míg a $B$ esemény az, hogy 2-est mutat. Ekkor:

• $P(A)=\frac{1}{6}$
• $P(B)=\frac{1}{6}$
• $P(A\cap B)=0$ (mivel a kocka nem mutathat egyszerre 1-es és 2-es számot)

Ezért:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-0=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Általános Eset

Ha $A_1,A_2,\dots ,A_n$ események unióját szeretnénk kiszámolni, a képlet a következőképpen bővíthető:

$$P(A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{1\le i<j\le n}P(A_i\cap A_j)+\dots +(-1{)}^{n+1}P(A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n)$$

Ez az úgynevezett inkluzív-exkluzív elv.

Sablon:Hunl