Elméleti eloszlásfüggvény

1. Sablon:Label Az elméleti eloszlásfüggvény a statisztikában és a valószínűségszámításban egy véletlen változó valószínűségi eloszlását írja le. Az eloszlásfüggvény megmutatja, hogy a véletlen változó milyen valószínűséggel vesz fel egy adott értéket vagy annál kisebbet.

Definíció

Ha $X$ egy valószínűségi változó, akkor az eloszlásfüggvény (vagy kumulatív eloszlásfüggvény) $F(x)$ a következőképpen definiálható:

$$F(x)=P(X\le x)$$

Ez azt jelenti, hogy az $F(x)$ az $X$ változó $x$-nál kisebb vagy egyenlő értékének valószínűségét adja meg.

Tulajdonságok

1. Monotonitás: Az eloszlásfüggvény monoton növekvő, azaz $F(a)\le F(b)$ ha $a<b$.

2. Határértékek: - $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$ - $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$

3. Jobb folytonosság: Az eloszlásfüggvény jobbra folytonos.

Példák

- Diszkrét eloszlás: Ha $X$ diszkrét valószínűségi változó, az eloszlásfüggvény értékei a valószínűségi tömegfüggvény (PMF) összegei: $$F(x)=\sum _{k\le x}P(X=k)$$

- Folytonos eloszlás: Ha $X$ folytonos valószínűségi változó, az eloszlásfüggvény a valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF) integrálja: $$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$$ ahol $f(t)$ a PDF.

Alkalmazások

Az eloszlásfüggvények fontosak a valószínűségi modellek, statisztikai tesztek és a különböző valószínűségi eloszlások, mint például a normális, exponenciális vagy Poisson-eloszlás megértésében.

Sablon:Hunl