Együttes várható érték

1. Sablon:Label Az együttes várható érték (joint expectation) két vagy több véletlen változó várható értékének közös számítása. Az együttes várható érték azt mutatja meg, hogy a két (vagy több) véletlen változó milyen módon hat egymásra, és általában a következő formákban számítható:

Két Véletlen Változó Együttes Várható Értéke

Legyen $X$ és $Y$ két véletlen változó. Az együttes várható érték a következőképpen definiálható:

1. Diszkrét Véletlen Változók: Ha $X$ és $Y$ diszkrét véletlen változók, akkor az együttes várható érték:

$$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$$

A két változó összege az együttes várható értéke:

$$E[g(X,Y)]=\sum _x\sum _{y}g(x,y)\cdot P(X=x,Y=y)$$

ahol $g(X,Y)$ egy bármilyen funkció, amely $X$ és $Y$ függvényében van.

2. Folytonos Véletlen Változók: Ha $X$ és $Y$ folytonos véletlen változók, az együttes várható érték a következőképpen számítható:

$$E[g(X,Y)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x,y)\cdot f_{XY}(x,y)dydx$$

ahol $f_{XY}(x,y)$ az $X$ és $Y$ együttes sűrűségfüggvénye.

Példa

Két Diszkrét Véletlen Változó

Legyen $X$ és $Y$ két diszkrét véletlen változó, ahol a következő eloszlással rendelkeznek:

- $P(X=1,Y=1)=0.2$ - $P(X=1,Y=2)=0.3$ - $P(X=2,Y=1)=0.4$ - $P(X=2,Y=2)=0.1$

Akkor a várható érték számítása a következőképpen történik:

1. Először kiszámoljuk $E[X]$ és $E[Y]$: $$E[X]=1\cdot (0.2+0.3)+2\cdot (0.4+0.1)=1\cdot 0.5+2\cdot 0.5=1.5$$

$$E[Y]=1\cdot (0.2+0.4)+2\cdot (0.3+0.1)=1\cdot 0.6+2\cdot 0.4=1.4$$

2. A közös várható érték: $$E[X+Y]=E[X]+E[Y]=1.5+1.4=2.9$$

Független Változók

Ha $X$ és $Y$ független véletlen változók, akkor az együttes várható érték a következőképpen alakul:

$$E[XY]=E[X]\cdot E[Y]$$ Sablon:Hunl