Együttes eloszlás

1. Sablon:Label Az együttes eloszlás (joint distribution) egy valószínűségi fogalom, amely több véletlen változó eloszlását írja le egyszerre. Két vagy több véletlen változó együttes eloszlása megadja, hogy az egyes változók milyen valószínűséggel veszik fel különböző értékeiket.

Két Diszkrét Véletlen Változó Együttes Eloszlása

Két diszkrét véletlen változó, X és Y esetén, az együttes eloszlást egy valószínűségi tömegfüggvény (PMF) jellemzi, amely a következőképpen definiálható:

$$P(X=x,Y=y)=P_{XY}(x,y)$$

ahol $P_{XY}(x,y)$ a valószínűsége, hogy $X=x$ és $Y=y$.

Együttes Eloszlás Függvény

Az együttes eloszlás függvény (cumulative distribution function, CDF) a következőképpen néz ki:

$$F_{XY}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$$

Ez megadja a valószínűséget, hogy $X$ és $Y$ egyaránt kisebb vagy egyenlő, mint $x$ és $y$.

Kontinuális Véletlen Változók

Kontinuális változók esetén az együttes eloszlást a valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF) írja le:

$$f_{XY}(x,y)$$

A valószínűség kiszámítása egy adott tartományban így történik:

$$P(a<X\le b,c<Y\le d)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{c}{\overset{d}{\int }}{f}_{XY}(x,y)dydx$$

Függetlenség

Két véletlen változó független, ha az együttes eloszlásuk a marginals szorzataként kifejezhető:

$$P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$$

Példa

Ha $X$ és $Y$ a dobott kockák eredményei, akkor az együttes eloszlásuk egy 6x6-os táblázatban jeleníthető meg, ahol a cellák a $P(X=i,Y=j)$ értékeket tartalmazzák.

Sablon:Hunl