Dirichlet-tétel

1. Sablon:Label A számelméletben Dirichlet nevezetes tétele azt állítja, hogy minden $a,a+q,a+2q,a+3q,\dots$ számtani sorozatban végtelen sok prím van, feltéve, hogy a és q>0 relatív prímek.

---

Dirichlet-tétel az aritmetikai sorozatokról

A **Dirichlet-tétel** a számelmélet egyik fontos eredménye, amely a prímszámok eloszlására vonatkozik aritmetikai sorozatokban. A tétel kimondja, hogy ha két szám relatív prím (azaz legnagyobb közös osztójuk 1), akkor a megfelelő aritmetikai sorozatban végtelen sok prímszám van.

---

Tétel

Legyen $a$ és $d$ két pozitív egész szám, ahol $\text{lnko}(a,d)=1$. Az $a+nd$ ($n=0,1,2,\dots$) alakú számok végtelen sok prímet tartalmaznak.

Másképpen megfogalmazva: ha $a$ és $d$ relatív prímek, akkor az $a+nd$ (moduló $d$) aritmetikai sorozatban végtelen sok prímszám található.

---

Példák

1. $a=1,d=4$: Az $1,5,9,13,\dots$ sorozatban végtelen sok prímszám van ($5,13,17,\dots$).
2. $a=2,d=3$: Az $2,5,8,11,\dots$ sorozatban végtelen sok prímszám van ($2,5,11,\dots$).

---

Bizonyítás (vázlatosan)

Dirichlet bizonyítása az **L-függvények** és a **moduláris aritmetika** módszereire épül. A teljes bizonyítás mélyebb analitikus számelméleti eredményeket igényel, de itt egy vázlatot adunk.

1. A karakterek bevezetése

Dirichlet a tételt a \textit{Dirichlet-karakterek} segítségével bizonyította. Legyen $\chi$ egy Dirichlet-karakter $\text{mod}d$ szerint, amely egy olyan függvény, amely a $d$-vel relatív prím $a$ számok esetében megfeleltet egy komplex számot, és amely kielégíti: $$\chi (ab)=\chi (a)\chi (b).$$

---

2. Dirichlet-L-függvények

Definiáljuk a Dirichlet-féle $L$-függvényt: $$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s},\text{ahol }s>1.$$

Az $L(s,\chi )$-függvény az analitikus számelmélet központi eszköze, amelyet Dirichlet az aritmetikai sorozatok vizsgálatára alkalmazott.

---

3. A $L(s,\chi )$-függvény analitikus tulajdonságai

Dirichlet megmutatta, hogy az $L(s,\chi )$-függvény holomorf, és bizonyos $\chi$-karakterek esetén az $s=1$ pontban létezik pólusa. Az $L(1,\chi )$ pólus léte biztosítja a prímszámok végtelenségét az aritmetikai sorozatban.

---

4. Prímszámok végtelensége az aritmetikai sorozatban

Dirichlet eredménye azt mutatja, hogy az $L(1,\chi )$-függvény nem nulla, ha $\chi$ az egységkarakter. Ez azt jelenti, hogy az $a+nd$ alakú számok sorozatában végtelen sok prímszám található.

---

Következmények

1. Prímszámok egyenletes eloszlása:

Dirichlet eredménye alapján a különböző modulo $d$ osztályok között a prímszámok "egyenletesen" oszlanak meg.

1. Általánosítások:

A tétel modern általánosításai lehetővé teszik a prímszámok eloszlásának vizsgálatát bonyolultabb aritmetikai struktúrákban is.

---

Példa alkalmazásra

1. $a=3,d=4$: Az $3,7,11,15,\dots$ sorozatban végtelen sok prímszám található ($3,7,11,19,\dots$).
2. $a=2,d=6$: Az $2,8,14,20,\dots$ sorozatban szintén végtelen sok prímszám létezik.

---

Összefoglalás

A **Dirichlet-tétel** az aritmetikai sorozatokban található prímszámok végtelenségét biztosítja, ha a sorozat $a$ és $d$ paraméterei relatív prímek. Ez a tétel az analitikus számelmélet egyik alapköve, amely mély kapcsolatot mutat az aritmetika és az analízis között.

• Sablon:En: Sablon:T