Clausen-függvény

1. Sablon:Humatek A matematikában a Clausen-függvényt a következő integrál definiálja:

${\mathrm{Cl}}_2(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\log |2\sin (t/2)|dt.$

A definíció Thomas Clausen (1801 – 1885) dán matematikus nevéhez fűzödik (1932).

A Lobacsevszkij-függvény, Λ vagy Л, lényegében hasonló függvény más változókkal:

$\mathrm{\Lambda }(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\log |2\sin (t)|dt={\mathrm{Cl}}_2(2\theta )/2.$

Meg kell jegyezni, hogy a “Lobacsevszkij-függvény” elnevezés nem teljesen pontos történetileg, mivel Lobacsevszkij képlete hiperbolikus mennyiségekre kissé különböző:

$\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\log |\sec (t)|dt=\mathrm{\Lambda }(\theta +\pi /2)+\theta \log 2$

Általános definíció

${\mathrm{Cl}}_s(\theta )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (n\theta )}{n^s}$

mely a komplex s- re érvényes, Re s >1 mellett. A definíció kiterjeszthető az egész komplex síkra az analitikus folytatás módszerével.