Cauchy-féle középértéktétel

1. Sablon:Humatek A Cauchy-féle középértéktétel (vagy Cauchy középértéktétele) a differenciálszámítás egyik fontos tétele, amely általánosítja a Lagrange-féle középértéktételt. A tétel a következőképpen szól:

Legyen $f$ és $g$ két olyan függvény, amelyek differenciálhatók az $[a,b]$ intervallumon, és folytonosak a zárt $[a,b]$ intervallumon. Ha továbbá $g^{\prime }(x)\ne 0$ minden $x\in (a,b)$ esetén, akkor létezik olyan $\xi \in (a,b)$, amelyre teljesül:

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}.$$

Ez a tétel a Lagrange-féle középértéktétel egy általánosabb változata, amely két függvény arányáról szól, és az egyik függvény deriváltjaival kapcsolja össze őket.

---

Cauchy-féle középértéktétel

A **Cauchy-féle középértéktétel** a komplex analízis egyik alapvető eredménye, amely a holomorf függvények értékét köti össze egy zárt görbe mentén vett görbeintegráljával. Ez a tétel fontos következménye a Cauchy-féle integráltételnek, és előkészíti a Cauchy-integrálformulát.

Tétel

Legyen $f(z)$ holomorf egy $U$ nyílt tartományban, és legyen $C$ egy egyszeresen összefüggő, pozitív orientációjú zárt görbe, amely teljes egészében $U$-n belül van. Ha $a$ a $C$-vel határolt tartomány belsejében található, akkor:

$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz$$

Ez azt mondja ki, hogy ha $f(z)$ holomorf, akkor a $z=a$ pontban vett értéke kifejezhető egy zárt görbe menti integrál segítségével.

---

Bizonyítás

1. A feltételek megértése

• A függvény $f(z)$ holomorf, azaz folytonosan differenciálható az $U$ tartományban.
• $a$ a $C$-vel határolt tartomány belsejében található.
• A cél annak igazolása, hogy a tételben szereplő integrál valóban $f(a)$-val egyenlő.

---

2. A függvény átalakítása

Tekintsük az integrálban szereplő függvényt:

$$g(z)=\frac{f(z)}{z-a}.$$

Ez a függvény holomorf minden $z\ne a$ pontban, mert $f(z)$ holomorf, és $z-a\ne 0$ a görbén kívül. Az integrál viszont tartalmazza $z=a$-t, ahol a nevező nullává válik, ezért külön kell vizsgálni a $z=a$ pont környezetét.

---

3. Lokális vizsgálat a $z=a$ pontban

A $f(z)$ függvény Taylor-sor alakban kifejezhető a $z=a$ környezetében:

$$f(z)=f(a)+f^{\prime }(a)(z-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(z-a{)}^2+\dots$$

A $g(z)$ függvényt behelyettesítve:

$$g(z)=\frac{f(z)}{z-a}=\frac{f(a)}{z-a}+f^{\prime }(a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(z-a)+\dots$$

---

4. Az integrál kiszámítása

Az ${\oint }_{C}g(z)dz$ integrált vizsgálva, az $g(z)$-t a fenti alak szerint bontjuk:

$${\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz={\oint }_C\frac{f(a)}{z-a}dz+{\oint }_C{f}^{\prime }(a)dz+{\oint }_C\frac{f^{″}(a)}{2!}(z-a)dz+\dots$$

Az ${\oint }_C{f}^{\prime }(a)dz$ és az összes magasabb rendű tag integrálja nulla, mivel ezek a függvények holomorfak $U$-ban, és a Cauchy-féle integráltétel szerint bármely holomorf függvény zárt görbe mentén vett integrálja nulla.

Így csak az első tag marad:

$${\oint }_C\frac{f(a)}{z-a}dz.$$

Ez az integrál az $1/(z-a)$ görbeintegráljára vezethető vissza. A komplex analízisből ismert, hogy:

$${\oint }_C\frac{1}{z-a}dz=2\pi i.$$

Ezért az eredeti integrál:

$${\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz=f(a)\cdot 2\pi i.$$

---

5. Az egyenlet rendezése

A fentiek alapján:

$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz.$$

Ez bizonyítja a Cauchy-féle középértéktételt.

---

Összefoglalás

A tétel megmutatja, hogy egy analitikus függvény $a$ pontban vett értéke teljes egészében meghatározható egy zárt görbe menti integrál segítségével. Ez a tétel a komplex analízis egyik központi eredménye, amely a Cauchy-integrálformulára is alapot nyújt.