Casorati-Weierstrass-tétel

1. Sablon:Humatek A komplex analízisben a Casorati–Weierstrass-tétel holomorf függvények viselkedését írja le lényeges szingularitásuk környékén. Karl Weierstrass és Felice Casorati után nevezték el. Az orosz irodalomban Szokhotszkij tételeként emlegetik.

---

Casorati–Weierstrass-tétel

Definíció

A Casorati–Weierstrass-tétel a komplex analízis egyik alapvető eredménye, amely egy izolált szinguláris ponthoz közelítő függvény viselkedését írja le.

Fogalmak

Izolált szinguláris pont

- Egy $a\in ℂ$ pont izolált szinguláris pont egy $f(z)$ függvény esetében, ha $f(z)$ analitikus az $a$ pontot nem tartalmazó környezetében, de $a$-ban nem definiált vagy nem analitikus.

Lényeges szinguláris pont

- Egy izolált szinguláris pont $a$ lényeges szinguláris pont, ha $f(z)$-nak $a$-ban sem pólusa, sem eltávolítható szingularitása nincs. - Példa: Az $f(z)=e^{1/z}$ függvény $z=0$-ban lényeges szingularitással rendelkezik.

Casorati–Weierstrass-tétel Bizonyítása

1. A tétel állítása

Legyen $a$ egy lényeges szinguláris pont $f(z)$-ra, amely analitikus az $a$ pont környezetében, kivéve az $a$-t magát. Azt kell bizonyítanunk, hogy $f(z)$-nak az $a$-hoz közel tetszőleges $w\in ℂ$-hoz tetszőlegesen közel eső értékei vannak.

2. Laurent-sor kifejtése

- Az $f(z)$ függvény Laurent-sorral kifejezhető az $a$ pont környezetében: $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n,$ ahol $c_n\in ℂ$.

- A $n<0$ tagok jelenléte mutatja, hogy $a$ lényeges szinguláris pont.

3. Értéksűrűség a komplex síkon

- Tekintsünk egy $w\in ℂ$ értéket és $\epsilon >0$-t. A Laurent-sorban szereplő negatív hatványok miatt az $f(z)$ függvény $a$-hoz közel tetszőlegesen kis perturbációk esetén $w$-hez tetszőlegesen közel kerülhet.

4. Következtetés

- Ha $a$ nem lényeges szingularitás (például pólus vagy eltávolítható szingularitás), akkor $f(z)$-nak véges számú limitértéke van az $a$ ponthoz közelítve. - Mivel $a$ lényeges szinguláris pont, $f(z)$-nak a komplex síkon sűrű értéksora lesz az $a$-hoz közelítve.

Példa

Függvény

Legyen $f(z)=e^{1/z}$, amely $z=0$-ban lényeges szingularitással rendelkezik.

1. Sűrű értékkészlet:

  - Ha $z\to 0$, akkor $1/z\to \mathrm{\infty }$, így az exponenciális függvény periodikusan "bejárja" a komplex síkot.
  - Ezért $f(z)$ értékei $z=0$-hoz közelítve sűrűn helyezkednek el a komplex síkon.

1. Közelítés egy adott $w$-hoz:

  - Például $w=1$: Tetszőlegesen kis $z$-re létezik olyan $z$, hogy $f(z)=e^{1/z}\approx 1$.

Fontos Következmények

1. Lényeges szingularitás erős hatása:

  - A lényeges szinguláris pontok körül a függvény értékkészlete tetszőlegesen közel kerülhet bármely komplex számhoz.

1. Picard-tétel előfutára:

  - A Casorati–Weierstrass-tétel a Nagy Picard-tétel alapja, amely kimondja, hogy egy lényeges szingularitás környezetében a függvény a komplex számok halmazának legfeljebb egy elemét kivéve minden értéket végtelen sokszor felvesz.

1. Analitikus függvények vizsgálata:

  - A tétel lehetővé teszi analitikus függvények lényeges szingularitásainak és azok viselkedésének vizsgálatát.

Összegzés

A Casorati–Weierstrass-tétel egy lényeges szingularitás körül az analitikus függvények értéksűrűségét írja le a komplex síkon. A tétel segít megérteni a lényeges szingularitások alapvető természetét, és előkészíti az utat a Nagy Picard-tételhez, amely még erősebb állításokat fogalmaz meg.

• Sablon:En: Sablon:T