Bernoulli-féle törvény

1. Sablon:Label A Bernoulli-féle törvény (Bernoulli’s law) a valószínűségi elméletben és statisztikában használt alapvető tétel, amely a nagy számok törvényének egyik különleges esete. A Bernoulli-féle törvény szerint, ha egy esemény $p$ valószínűséggel bekövetkezik, és $n$ független próbálkozást végzünk, akkor a bekövetkezések aránya a próbálkozások számának növekedésével egyre inkább közelít a $p$ értékhez.

Formálisan

Ha $X_n$ a Bernoulli-kísérletek száma, amelyben a sikeres kimeneteket $1$-nek, a sikertelenségeket $0$-nak tekintjük, akkor a kísérletek összegzése:

$$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$$

A Bernoulli-féle törvény a következőképpen fogalmazható meg:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_n}{n}=p\text{valószínűséggel }1$$

Magyarázat

$n$: a Bernoulli-kísérletek számának növekedése.

$S_n$: a sikeres események száma a $n$ próbálkozás alatt.

$p$: az esemény bekövetkezésének valószínűsége.

Példa

Ha egy érme feldobásakor a fej (siker) valószínűsége $p=0.5$, akkor ha sokáig dobálunk, a dobások arányában a fejek száma a dobások számához viszonyítva egyre inkább közelít a 0.5-höz.

Alkalmazások

A Bernoulli-féle törvényt gyakran használják statisztikai elemzésekben, szavazások, kísérletek és különböző valószínűségi események modellezésében.

Sablon:Hunl