Különbségek négyzetösszege

1. Sablon:Label A különbségek négyzetösszege (más néven variancia összegzés) a statisztikában egy fontos mutató, amely megmutatja, hogy egy adott adathalmazon belül a megfigyelések mennyire térnek el az átlagtól. Ezt gyakran használják a variancia és a standard deviáció számításához is.

Definíció:

Legyen egy $n$ elemű adathalmaz $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Az adathalmaz átlaga ($\overline{x}$) a következőképpen számítható:

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

A különbségek négyzetösszege ($S$) pedig a következőképpen alakul:

$$S=\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$$

Különbségek négyzetösszege lépései:

1. Átlag kiszámítása: Számoljuk ki az adathalmaz átlagát ($\overline{x}$). 2. Különbségek számítása: Határozzuk meg minden egyes adat és az átlag közötti különbséget ($x_i-\overline{x}$). 3. Négyzetre emelés: Emeljük négyzetre a különbségeket. 4. Összegzés: Adjuk össze a négyzetre emelt különbségeket.

Példa:

Tegyük fel, hogy az alábbi adathalmazon dolgozunk:

$x=\{4,7,8,5\}$

1. Átlag: $$\overline{x}=\frac{4+7+8+5}{4}=\frac{24}{4}=6$$

2. Különbségek: - $x_1-\overline{x}=4-6=-2$ - $x_2-\overline{x}=7-6=1$ - $x_3-\overline{x}=8-6=2$ - $x_4-\overline{x}=5-6=-1$

3. Négyzetre emelés: - $(-2{)}^2=4$ - $(1{)}^2=1$ - $(2{)}^2=4$ - $(-1{)}^2=1$

4. Összegzés: $$S=4+1+4+1=10$$

Összegzés:

A különbségek négyzetösszege segít megérteni, hogy a megfigyelések mennyire oszlanak el az átlag körül, és alapvető lépés a variancia és a standard deviáció számításában. A variancia (${\sigma }^2$) a különbségek négyzetösszegének átlagaként is értelmezhető, amelyet a következőképpen számolhatunk ki:

$${\sigma }^2=\frac{S}{n}$$

A standard deviáció ($\sigma$) pedig a variancia négyzetgyöke:

$$\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$$ Sablon:Hunl