Közelítő tapasztalati eloszlásfüggvény

1. Sablon:Label A közelítő tapasztalati eloszlásfüggvény (empirikus eloszlásfüggvény) egy statisztikai eszköz, amely a minta alapján adja meg az adataink eloszlásának közelítését. Ez a függvény lehetővé teszi, hogy a minta adataiból következtetéseket vonjunk le a populáció eloszlásáról. A tapasztalati eloszlásfüggvény minden egyes értéknél megmutatja, hogy a minta adatai között hány megfigyelés található az adott érték vagy az alatti értékek közül.

Főbb jellemzők:

1. Definíció: A tapasztalati eloszlásfüggvény $F_n(x)$ a következőképpen definiálható: $$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}I(X_i\le x)$$ ahol: - $n$: a minta mérete, - $X_i$: a minta elemei, - $I(X_i\le x)$: az indikátor függvény, amely 1, ha $X_i$ kisebb vagy egyenlő $x$-szel, és 0, ha nem.

2. Lépések a számításhoz:

• Adatok gyűjtése: Gyűjtsük össze a minta adatainkat.
• Rendezés: Rendezzük a mintát növekvő sorrendbe.
• Eloszlásfüggvény kiszámítása: Használjuk a fenti képletet a tapasztalati eloszlásfüggvény meghatározására.

3. Jellemzők: - Diszkrét és folytonos eloszlás: A tapasztalati eloszlásfüggvény bármilyen típusú adathalmazon alkalmazható, legyen az diszkrét vagy folytonos. - Monotonikus növekedés: A tapasztalati eloszlásfüggvény monoton növekvő, hiszen a valószínűségi eloszlás nem csökkenhet.

Példa: Tegyük fel, hogy egy minta 5 megfigyelést tartalmaz: $X=\{2,3,5,7,8\}$.

1. Rendezés: A minta rendezve: $2,3,5,7,8$.

2. Tapasztalati eloszlásfüggvény kiszámítása:

• $F_n(2)=\frac{1}{5}\cdot 1=0.2$
• $F_n(3)=\frac{2}{5}=0.4$
• $F_n(5)=\frac{3}{5}=0.6$
• $F_n(7)=\frac{4}{5}=0.8$
• $F_n(8)=\frac{5}{5}=1.0$

Grafikus ábrázolás: A tapasztalati eloszlásfüggvény grafikus ábrázolása lényegében lépcsős függvényként jelenik meg, ahol a függvény értéke ugrik, ahogy a mintában új értékek jelennek meg.

Összegzés: A közelítő tapasztalati eloszlásfüggvény hasznos eszköz a statisztikai elemzés során, mivel lehetővé teszi az adatok eloszlásának vizsgálatát és a populációra vonatkozó következtetések levonását. Segít a minták jellemzésében, és a valószínűségi eloszlás funkciók közelítésében. Sablon:Hunl