N szabadságfokú eloszlás

1. Sablon:Label Az $n$ szabadságfokú khi-négyzet-eloszlás (khi-négyzet-eloszlás) a statisztikában egy fontos valószínűségi eloszlás, amelyet gyakran használnak hipotézisvizsgálatokban és a varianciaelemzésben. A khi-négyzet-eloszlás a normál eloszlás általánosítása, és a következő jellemzőkkel bír:

Jellemzők

1. Definíció: Ha $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ független, standard normális eloszlású (azaz $N(0,1)$) véletlen változók, akkor a következő összeg a khi-négyzet-eloszlású: $$X^2=Z_1^2+Z_2^2+\dots +Z_n^2$$ Ahol $X^2$ a khi-négyzet eloszlású változó.

2. Szabadságfokok: A khi-négyzet-eloszlásnak $n$ szabadságfoka van, amely azt jelenti, hogy az eloszlás formája a szabadságfokok számától függ.

3. Sűrűségfüggvény: A $n$ szabadságfokú khi-négyzet-eloszlás sűrűségfüggvénye a következőképpen van megadva: $$f(x;n)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{n/2}\mathrm{\Gamma }(n/2)}{x}^{(n/2)-1}{e}^{-x/2},& \text{ha }x>0\\ 0,& \text{ha }x\le 0\end{array}$$ ahol $\mathrm{\Gamma }$ a gamma-függvény.

4. Várható érték és szórás: - A várható érték: $$E(X^2)=n$$ - A szórás: $$\text{Var}(X^2)=2n$$

Alkalmazások

A khi-négyzet-eloszlás gyakran használatos:

- Hipotézisvizsgálatokban: Például a varianciaegyenlőség vizsgálatakor (khi-négyzet-próba). - Jónesszólás tesztelésére: Megmutatja, hogy a megfigyelt gyakoriságok eltérnek-e a várt gyakoriságoktól. - Függetlenségi tesztekben: Különböző kategóriák közötti függetlenség vizsgálata.

Összegzés

A khi-négyzet-eloszlás egy fontos statisztikai eloszlás, amelyet széles körben használnak a hipotézisvizsgálatok és a varianciaelemzések során. A szabadságfokok száma alapvetően befolyásolja az eloszlás formáját és a kapcsolódó valószínűségeket. Sablon:Hunl