Korrigált tapasztalati szórásnégyzet

1. Sablon:Label A korrigált tapasztalati szórásnégyzet (más néven korrigált szórásnégyzet) a mintavételi eljárások során a szórás becslésének egy módja, amely figyelembe veszi a minták számát és a minta átlagát. Ez a módszer segít abban, hogy a szórás becslésének torzítottságát csökkentsük, különösen kis minták esetén.

Képletek

A korrigált tapasztalati szórásnégyzet ${\sigma }^2$ a következőképpen számítható:

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$$

ahol: - $s^2$ a korrigált tapasztalati szórásnégyzet, - $n$ a minta elemszáma, - $x_i$ az egyes megfigyelések, - $\overline{x}$ a minta átlaga.

Magyarázat

1. Minta elemszáma: Az $n-1$ kifejezés (szabadsági fokok) azért szerepel a nevezőben, hogy kompenzálja azt a torzítást, amely a minta átlaga ($\overline{x}$) miatt keletkezik. Amikor a minta átlaga helyett a teljes populáció átlagát használnánk, az eredmény torzítatlanul becsülné meg a szórást.

2. Minta átlag: A $\overline{x}$ a minta átlagát jelenti, amelyet az alábbiak szerint számítunk:

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

3. Variancia: A korrigált tapasztalati szórásnégyzet a variancia becslésének számítását jelenti, amely megmutatja, hogy a mintaelemek mennyire szóródnak az átlag körül.

Példa

Tegyük fel, hogy a következő mintaértékek vannak: $x_1=5$, $x_2=7$, $x_3=10$.

1. Minta átlag:

$$\overline{x}=\frac{5+7+10}{3}=7,33$$

2. Korrigált tapasztalati szórásnégyzet:

$$s^2=\frac{1}{3-1}((5-7,33{)}^2+(7-7,33{)}^2+(10-7,33{)}^2)$$

$$s^2=\frac{1}{2}((-2,33{)}^2+(-0,33{)}^2+(2,67{)}^2)$$

$$s^2=\frac{1}{2}(5,43+0,11+7,13)=\frac{12,67}{2}=6,34$$

Összegzés

A korrigált tapasztalati szórásnégyzet egy fontos statisztikai mutató, amely segít a minta szóródásának becslésében, és a szórás értékének torzítottságát csökkenti, különösen kis minták esetén. Sablon:Hunl