Normált valószínűségi változó

1. Sablon:Label A normált valószínűségi változó és a standard normált valószínűségi változó a valószínűségi eloszlások közül a legfontosabbak, mivel számos statisztikai eljárás alapját képezik.

Normált valószínűségi változó

- Definíció: A normált valószínűségi változó $X$ akkor mondható normális eloszlásúnak, ha a valószínűségi eloszlása a következő sűrűségfüggvény szerint van definiálva:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

ahol: - $\mu$ a normális eloszlás várható értéke (átlag), - $\sigma$ a szórás.

- Jellemzők: - A normális eloszlás szimmetrikus, harang alakú. - Az átlag ($\mu$) határozza meg az eloszlás középpontját. - A szórás ($\sigma$) határozza meg a szélességet; nagyobb szórás esetén az eloszlás szélesebb és laposabb.

Standard normált valószínűségi változó

- Definíció: A standard normált valószínűségi változó $Z$ olyan normális eloszlású változó, amelynek várható értéke 0 és szórása 1. Ezt a változót a következő sűrűségfüggvény jellemzi:

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$$

ahol $z$ a standard normált változó.

- Kapcsolat a normált valószínűségi változóval: Bármely normális eloszlású valószínűségi változó $X$ standardizálható a következő képlettel:

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

Ez a standardizálás lehetővé teszi, hogy a különböző normális eloszlások összehasonlíthatók legyenek.

Használat

- A normális és a standard normális eloszlás széles körben alkalmazható a statisztikában, mivel sok természeti és társadalmi jelenség közelítőleg normális eloszlást mutat. - A standard normális eloszlás táblázatai segítenek a p-értékek és valószínűségek gyors meghatározásában.

Összegzés

A normális valószínűségi változó általános, míg a standard normált valószínűségi változó specifikus, 0 átlagú és 1 szórású normális eloszlást reprezentál. A standardizálás lehetővé teszi, hogy bármilyen normális eloszlású változót standard normálissá alakítsunk, megkönnyítve ezzel a statisztikai elemzést. Sablon:Hunl