Khí-négyzet-eloszlás sűrűségfüggvénye

1. Sablon:Label A khi-négyzet-eloszlás sűrűségfüggvénye egy folyamatos valószínűségi eloszlás, amely a statisztikai hipotézisvizsgálatokban gyakran előfordul, különösen a khi-négyzet-próbák során. A khi-négyzet-eloszlás a normális eloszlású változók négyzetének összegét modellezi.

Sűrűségfüggvény

A $k$ szabadsági fokú khi-négyzet-eloszlás sűrűségfüggvénye a következő képlettel adható meg:

$$f(x;k)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{(k/2)-1}{e}^{-x/2}& \text{ha }x>0\\ 0& \text{ha }x\le 0\end{array}$$

ahol: - $x$: a változó, amely a khi-négyzet-eloszlás értéke, - $k$: a szabadsági fokok száma, - $\mathrm{\Gamma }$: a gamma-függvény, amely a faktoriálét általánosítja (például $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$).

Jellemzők

1. Szabadsági fok: A $k$ értéke határozza meg az eloszlás alakját. Minél nagyobb a szabadsági fok, annál közelebb áll a khi-négyzet-eloszlás a normális eloszláshoz. 2. Átlag: A khi-négyzet-eloszlás átlagának értéke $k$. 3. Szórás: A szórás a következőképpen számítható: $$\sigma =\sqrt{2k}$$

Példa

Ha $k=3$, a három szabadsági fokú khi-négyzet-eloszlás sűrűségfüggvénye a következőképpen alakul:

$$f(x;3)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{3/2}\mathrm{\Gamma }(3/2)}{x}^{(3/2)-1}{e}^{-x/2}& \text{ha }x>0\\ 0& \text{ha }x\le 0\end{array}$$

Itt a $\mathrm{\Gamma }(3/2)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$, így a sűrűségfüggvény: $$f(x;3)=\frac{1}{2^{3/2}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}}{x}^{1/2}{e}^{-x/2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{x}^{1/2}{e}^{-x/2}$$

Összegzés

A khi-négyzet-eloszlás sűrűségfüggvénye alapvető szerepet játszik a statisztikai elemzésekben, különösen a hipotézisvizsgálatok során, és a szabadsági fokok figyelembevételével az eloszlás alakját is befolyásolja. Sablon:Hunl