Folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke

1. Sablon:Label A folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke (más néven középérték) a valószínűségi változó eloszlásának súlyozott átlaga. A várható érték megmutatja, hogy a valószínűségi változó átlagos értéke milyen irányban mozog, ha a kísérletet végtelen sokszor megismételjük.

Várható érték definíciója

Ha $X$ egy folytonos valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye $f(x)$, akkor a várható érték $E(X)$ a következő képlettel számítható:

$$E(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\cdot f(x)dx,$$

ahol: - $E(X)$ a várható érték, - $x$ a valószínűségi változó lehetséges értékei, - $f(x)$ a sűrűségfüggvény, amely biztosítja, hogy az integrál a valószínűségi változó eloszlásának súlyozott átlagát számolja ki.

Jellemzők

1. Létezés: A várható érték létezik, ha az integrál konvergál. Ezért fontos, hogy a sűrűségfüggvény integrálja véges legyen. 2. Linearitás: A várható érték lineáris tulajdonsága miatt, ha $a$ és $b$ konstansok, akkor: $$E(aX+b)=aE(X)+b.$$

Példa

Tegyük fel, hogy $X$ egy folytonos valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye: $$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a},& \text{ha }a\le x\le b\\ 0,& \text{máskülönben}\end{array}$$ Ez a sűrűségfüggvény a $[a,b]$ intervallumban egyenletes eloszlást reprezentál.

A várható érték számítása: $$E(X)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}x\cdot \frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\cdot {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_a^b=\frac{1}{b-a}\cdot \left(\frac{b^2-a^2}{2}\right)=\frac{a+b}{2}.$$

Összegzés

A folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke a sűrűségfüggvény segítségével számítható ki, és fontos szerepet játszik a statisztikai elemzésekben, mivel megadja az átlagos értéket, amely körül a valószínűségi változó eloszlása koncentrálódik. Sablon:Hunl